勒贝格控制收敛定理
贡献者： addis
1勒贝格控制收敛定理（Lebesgue dominated control theorem, DCT）是测度论和实分析中的一个强大结果，它提供了在一序列函数的积分的极限等于极限函数的积分的条件。这里是该定理的正式陈述：
定理 1 勒贝格控制收敛定理
设 $(X,M,\mu)$ 是一个测度空间，让 $\{f_n\}$ 是可测函数的序列 $f_n: X\to\mathbb R$ 或 $f_n:X\to\mathbb C$。它们几乎处处逐点收敛于函数 $f: X\to\mathbb R$ 或 $f:X\to\mathbb C$。如果存在一个非负的可积函数 $g:X\to[0,\infty)$，对所有的 $n$ 和几乎所有的 $x\in X$ 有 $ \left\lvert f_n(x) \right\rvert \leq g(x)$ 那么 $f$ 是可积的，并且
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int f_n(x) \,\mathrm{d}{\mu} = \int f(x) \,\mathrm{d}{\mu} ~.
\end{equation}
式 1 也可以写成
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\int f_n(x) \,\mathrm{d}{\mu} = \int\lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}{\mu} ~.
\end{equation}
这说明，满足定理条件时，极限和积分可以交换。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。