直线和平面的交点

贡献者： addis

预备知识　高中解析立体几何，几何矢量

　　若平面上任意一点为 $p = (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ ，法向量为 $n = (n_{x}, n_{y}, n_{z})$ 。直线上一点为 $s = (s_{x}, s_{y}, s_{z})$ ，方向为 $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$ ，求射线与平面的交点。注意 $n$ 和 $v$ 不必是单位矢量。

　　平面方程为

\begin{matrix} (1) & (r - p) \cdot n = 0 . \end{matrix}

直线的参数方程为

\begin{matrix} (2) & r = λ v + s . \end{matrix}

式 2 代入式 1 解得

\begin{matrix} (3) & λ = \frac{(p - s) \cdot n}{v \cdot n} . \end{matrix}

再代入式 2 得交点为

\begin{matrix} (4) & r = \frac{(p - s) \cdot n}{v \cdot n} v + s . \end{matrix}