圆锥曲线（总结）
贡献者： ACertainUser; addis
- 本文处于草稿阶段。
1. 圆锥曲线的定义
1圆锥曲线（conic section）的一般定义：曲线上任意一点至一定点（焦点）的距离，与它至一直线（准线）的垂直距离始终成固定比例（离心率）:
\begin{equation}
\left \{P \middle| \frac{ \left\lvert PF \right\rvert }{ \left\lvert PL \right\rvert }=e \right \}~.
\end{equation}
根据 $e$ 的取值，可将圆锥曲线分为三类。相应的图例请参考下文。
表1：圆锥曲线的分类
| 离心率 | 名称 |
| $0< e<1$ | 椭圆 |
| $e=1$ | 抛物线 |
| $e>1$ | 双曲线 |
未完成：抛物线的例子：事实上抛物线只有一个形状，无论如何水平拉伸，竖直拉伸，都等效于等比例缩放。这也是为什么抛物线的离心率只有一个值（离心率决定圆锥曲线的形状）。
2. 圆锥曲线方程
本节使用的术语请参考下文。
图 1：圆锥曲线方程
以极坐标表示圆锥曲线时，原点为圆锥曲线的（一个）焦点。其中 $e$ 是离心率，$l$ 是半通径，极角 $\theta$ 的取值范围是所有使 $r>0$ 的值。 具体的推导与说明请参考圆锥曲线的极坐标方程。
以直角坐标表示圆锥曲线时，原点为该图形的几何中心（对于抛物线，则是他的顶点），这与极坐标是不同的。有时，相对于抽象的极坐标方程，直角坐标表示的圆锥曲线更为直观。
3. 圆锥曲线常用术语
图 2：椭圆
图 3：抛物线
图 4：双曲线
一些术语：
- 焦距：两焦点的距离
- 焦准距：焦点至与之对应的准线的距离
- 通径：过焦点做准线的平行线交曲线于两点，这两点所确定的直线段（的长度）
- 离心率：半焦距与半长轴之比；或如定义所述，曲线上一点至焦点与准线的距离之比。
表2：圆锥曲线术语及定义
| 名称 | 直角坐标方程 | 半焦距 Linear Eccentricity $c$ | 离心率 Eccentricity $e = \frac{c}{a}$ | 半通径 Semi Latus Rectum $l=\frac{b^2}{a}$ | 焦准距 Focal Parameter$p=\frac{b^2}{c}$ | 焦点坐标 | 准线方程 | 备注 |
| 椭圆 Ellipse | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $\sqrt{a^2-b^2}$, $b^2+c^2=a^2$ | $\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} < 1$ | $\frac{b^2}{a}$ | $\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ | $(\pm c,0)$ | $x=\pm a^2/c$ | |
| 抛物线 Parabola | $y^2=4ax$ | \ | 1 | $2a$ | $2a$ | $(a,0)$ | $x=-a$ | 只有一条准线和一个焦点 |
| 双曲线 Hyperbola | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $\sqrt{a^2+b^2}$,$a^2+b^2=c^2$ | $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ > 1 | $\frac{b^2}{a}$ | $\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ | $(\pm c,0)$ | $x=\pm a^2/c$ | 分为互不相连的两支 |
常用恒等式：
- $c=ae$
- $l=pe$
1. ^ 本文参考自 Wikipedia 的 Conic Section、圆锥曲线文章。