圆锥曲线(总结)

                     

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1. 圆锥曲线的定义

  1圆锥曲线(conic section)的一般定义:曲线上任意一点至一定点(焦点)的距离,与它至一直线(准线)的垂直距离始终成固定比例(离心率):

(1){P||PF||PL|=e} .
其中 P 为曲线上一点,F 为定点,L 为定直线,e 为该固定比例,|PL| 表示点到直线的垂直距离。

   根据 e 的取值,可将圆锥曲线分为三类。相应的图例请参考下文。

表1:圆锥曲线的分类
离心率 名称
0<e<1 椭圆
e=1 抛物线
e>1 双曲线

  

未完成:抛物线的例子:事实上抛物线只有一个形状,无论如何水平拉伸,竖直拉伸,都等效于等比例缩放。这也是为什么抛物线的离心率只有一个值(离心率决定圆锥曲线的形状)。

2. 圆锥曲线方程

   本节使用的术语请参考下文。

图
图 1:圆锥曲线方程

   以极坐标表示圆锥曲线时,原点为圆锥曲线的(一个)焦点。其中 e 是离心率,l 是半通径,极角 θ 的取值范围是所有使 r>0 的值。 具体的推导与说明请参考圆锥曲线的极坐标方程

   以直角坐标表示圆锥曲线时,原点为该图形的几何中心(对于抛物线,则是他的顶点),这与极坐标是不同的。有时,相对于抽象的极坐标方程,直角坐标表示的圆锥曲线更为直观。

3. 圆锥曲线常用术语

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图 2:椭圆
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图 3:抛物线
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图 4:双曲线

   一些术语:

表2:圆锥曲线术语及定义
名称 直角坐标方程 半焦距 Linear Eccentricity c 离心率 Eccentricity e=ca 半通径 Semi Latus Rectum l=b2a 焦准距 Focal Parameterp=b2c 焦点坐标准线方程 备注
椭圆 Ellipse x2a2+y2b2=1 a2b2, b2+c2=a2 1b2a2<1 b2a b2a2b2 (±c,0) x=±a2/c
抛物线 Parabola y2=4ax \ 1 2a 2a (a,0) x=a 只有一条准线和一个焦点
双曲线 Hyperbola x2a2y2b2=1 a2+b2,a2+b2=c2 1+b2a2 > 1 b2a b2a2+b2 (±c,0) x=±a2/c 分为互不相连的两支

   常用恒等式:


1. ^ 本文参考自 Wikipedia 的 Conic Section、圆锥曲线文章。

                     

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