幂零线性变换的 Jordan(若尔当)标准形

                     

贡献者: 叶月2_

   尽管复数域可以保证 $n$ 阶矩阵的特征多项式都有 $n$ 个解,但依然不是所有矩阵都有 $n$ 个线性无关的特征向量从而可以对角化。为了简化问题,我们需要 “简化” 矩阵(找一组基,使得矩阵在该基下有比较简单的形式,比较多 $0$)。定理 3 保证我们线性变换都有分块对角矩阵的形式。

   与之比较,“Jordan 标准形” 是更加简化的形式。为拓展至任意线性变换,本节先从较为简单的幂零线性变换入手。

1. 循环子空间

   设矩阵 $B$ 为线性空间 $V$ 上的幂零线性变换,即对于任意非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,总存在非负整数 $k$ 使得 $B^{k}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 且 $B^{k-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\neq \boldsymbol{\mathbf{0}} $。可以证明,$\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$ 线性无关。

习题 1 

   证明:$ \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$ 张成线性空间,并证明这是 $B$ 的不变子空间。

   设 $W= \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$,将幂零变换 $B$ 限制在该不变子空间上,记为 $B|_W$。则每一列可表示为:$(B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^k \boldsymbol{\mathbf{x}} )$,即:

\begin{equation} \left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right)~. \end{equation}

   假设该子空间为 4 维。输入 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =(1\,0\,0\,0)^T$,得到 $B \boldsymbol{\mathbf{x}} =(0\,1\,0\,0)^T$。输入 $B \boldsymbol{\mathbf{x}} =(0\,1\,0\,0)^T$,得到 $B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} =(0\,0\,1\,0)^T$。显然,$B$ 可以对基进行循环,因此把这种形式的基向量组 $ \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B \boldsymbol{\mathbf{x}} ,B^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} ,...B^{k-1} \boldsymbol{\mathbf{x}} \}$ 称为循环基(cyclic basis),$W$ 为 $B$ 的循环子空间(cyclic subspace)

   称形如式 1 的矩阵为Jordan(若当)块,由若当块直和而成的矩阵为 Jordan(若当)形矩阵。本节的主要目的便是证明:复数域上的幂零变换总可以表示为 Jordan 矩阵。下面的讨论默认在复数域上。

2. 幂零变换的循环子空间分解

预备知识 不变子空间

   由于 Jordan 表示是分块对角矩阵,对角块(Joradan 块)是循环子空间,则 $B$ 有 Jordan 形表示等价于 $V$ 可分解为 $B$ 的循环子空间之直和。因此我们需要证明:

定理 1 

   若 $B$ 是 $V$ 上的幂零线性变换,则 $V$ 总可以分解为 $B$ 的循环子空间之直和。

   Proof.

   用归纳法证明1。当线性空间维度为 1 时,由 $B$ 的定义可知定理显然成立。现设定理对维度小于 $n$ 时成立,设 $ \operatorname {dim}V=n$,需要利用该假设证明定理在此维度下成立。

   由于 $B$ 可以在 $ \operatorname {Im}B$ 上分解为循环子空间的直和,即:

\begin{equation} \operatorname {Im}B=W_1\oplus W_2\oplus...\oplus W_k~, \end{equation}

   令 $W_i= \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i,B( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i),B^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)...B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}$,有 $B^{l_i}|_{W_i}=0,i=1,2...k$。由于 $B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\in \operatorname {ker}B$,因此可以扩充 $\{B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}^k_{i=1}$ 至 $ \operatorname {ker}B$ 的一组基:

\begin{equation} \operatorname {ker}B= \operatorname {Span}\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \}^m_{i=1}\cup \{B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}^k_{i=1}~, \end{equation}

   则对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\in V$,都可以由 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} \}^m_{i=1}\cup \{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i,B( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i),B^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)...B^{l_i-1}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\}^{k}_{i=1}$ 表示。接下来我们证明:

\begin{equation} V=\bigoplus ^m_{i=1} \operatorname {Span} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\oplus W_1\oplus W_2\oplus...\oplus W_n~. \end{equation}

   设 $\{a_i\}^m_{i=1},\{b^i_1,b^i_2...b^i_{l_{i-1}}\}^{k}_{i=1}\in\mathbb F$,且

\begin{equation} a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i+b^i_jB^{j}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

   如前所叙,$j\in[1,l_{i-1}],i\in[1,k]$。两边各乘以 $B$,则有:

\begin{equation} b^i_jB^{j}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~, \end{equation}
此时 $j\in[1,l_{i-2}]$。由题设知 $B^j( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)$ 线性无关,则系数为 $0$,代入式 5 得:
\begin{equation} a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i+b^i_{l_{i-1}}B^{l_{i-1}}( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

   这是 $ \operatorname {ker}B$ 的 basis,所以系数为 $0$。因此式 5 的所有系数为 0,所证向量组线性无关,和为直和。 由于 $B \boldsymbol{\mathbf{v}} _i=0$,则 $ \operatorname {Span} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 都是 $B$ 的一维循环子空间,定理得证。


1. ^ 引自 Jier Peter 的《代数学基础》

                     

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