零化多项式

                     

贡献者： 叶月2_

定义 1　

　　 设 $f(x)$ 是以域 $\mathbb F$ 中元素为系数的一元多项式，$A$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换。若 $f(A)=0$（即零变换），则称 $f$ 是 $A$ 的一个零化多项式（null polynomial）。

　　 可以验证，若 $f$ 是线性变换 $A$ 的零化多项式，那么也是其任意基下矩阵所对应的零化多项式，即无论选取什么基底，代入多项式的最终结果为零矩阵。这是因为若 $A=Q^{-1}BQ$，我们有 $f(A)=Q^{-1}f(B)Q$。

　　 下面一条定理及其推论表明了寻找零化多项式的重要意义。

定理 1　

　　 给定域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V$，域上的多项式 $h$ 可以分解为互素多项式：$h=fg$。对于定义在该线性空间的线性变换 $A$，我们有：

\begin{equation} \operatorname {ker}h(A)= \operatorname {ker}f(A)\oplus \operatorname {ker}g(A)~. \end{equation}

　　 Proof.

　　 首先证明 $ \operatorname {ker}f\cap \operatorname {ker}g=0$。由互素得，存在多项式 $u,v$ 使得 $uf+vg=I$。设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \operatorname {ker}f\cap \operatorname {ker}g$，则 $(uf+vg) \boldsymbol{\mathbf{x}} =0= \boldsymbol{\mathbf{x}} $。矛盾，因而 $f,g$ 无交集，和为直和。

　　 下证 $ \operatorname {ker}h= \operatorname {ker}f\oplus \operatorname {ker}g$。 第一步，先证 $ \operatorname {ker}h\subset \operatorname {ker}f\oplus \operatorname {ker}g$。设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$ 分别是 $ \operatorname {ker}f$ 和 $ \operatorname {ker}g$ 的基，则 $fg(a^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i+b^i \boldsymbol{\mathbf{y}} _i)=a^igf( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)+b^ifg( \boldsymbol{\mathbf{y}} _i)=0$，第一步得证。

　　 第二步证明 $ \operatorname {ker}h\supset \operatorname {ker}f\oplus \operatorname {ker}g= \operatorname {ker}f+ \operatorname {ker}g$。设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \operatorname {ker}h$，由之前的证明过程知：$ \boldsymbol{\mathbf{x}} =(uf+vg) \boldsymbol{\mathbf{x}} $，只要把这两项分配给 $f,g$ 的核即可。显然，$g(uf \boldsymbol{\mathbf{x}} )=f(vg \boldsymbol{\mathbf{x}} ) =0$，得证。

推论 1　

　　 $\mathbb F,V,A,h$ 同上设。$h$ 可以分解为两两互素的多项式乘积：$h=h_1h_2...h_n$，则：

\begin{equation} \operatorname {ker}h(A)= \operatorname {ker}h_1(A)\oplus \operatorname {ker}h_2(A)\oplus...\oplus \operatorname {ker}h_n(A)~. \end{equation}

　　 若 $h(A)=0$，则 $ \operatorname {ker} h=V$，该条定理意味着若我们找到任意线性变换 $A$ 的零化多项式，则可以把线性空间分解为互素多项式的核。

　　 若 $f$ 是 $A$ 的多项式，且 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \operatorname {ker}f(A)$，则 $f(A)A x=0$，即任意多项式的核都是对应线性变换的不变子空间。综合前文，这意味着如果任意线性变换都有零化多项式，那么我们可以把 $A$ 分解为块对角矩阵，此时线性空间是 $A$ 的不变子空间之直和。 为了达到这个目的，我们还需要两个准备工作：找到一条路径能让我们快速确定任意线性变换对应的零化多项式，以及把多项式分解为互素项的简便方法。

　　 Cayley-Hamilton 定理告诉我们，线性变换的特征多项式就是一个零化多项式。

定理 2　Cayley-Hamilton 定理

　　 给定复线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$，若 $f(\lambda)= \operatorname {det}(A-\lambda I)$ 为其特征多项式，则 $f(A)=0$

　　 证明思路是利用复线性空间的任意矩阵都可相似于上三角矩阵，上三角矩阵的零化多项式即特征多项式,以及零化多项式不随基的改变而改变（若 $A,B$ 相似则 $f(A)=Q^{-1}f(B)Q=0$）。现在只证明第二点，其余读者可自证。

　　 设线性变换 $\mathcal A$ 在基向量组 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2,..., \boldsymbol{\mathbf{e}} _n\}$ 下的表示为 $n$ 阶上三角矩阵 $A=(a^i_j)$，由矩阵表示可知：$\mathcal A( \boldsymbol{\mathbf{e}} _k)= \operatorname {span}( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _2... \boldsymbol{\mathbf{e}} _k)$。具体来说是：

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal A( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)&=a^1_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\\ \mathcal A( \boldsymbol{\mathbf{e}} _2)&=a^1_2 \boldsymbol{\mathbf{e}} _1+a^2_2 \boldsymbol{\mathbf{e}} _2,\\ &...\\ \mathcal A( \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)&=a^1_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _1+a^2_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _2+...a^n_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _n,\\ \end{aligned}~ \end{equation}
因此，对于 $A$ 的特征多项式，代入 $A$ 后 $f(A)=(A-\lambda_1)(A-\lambda_2)...(A-\lambda_n)=(A-a^1_1)(A-a^2_2)...(A-a^n_n)$1，利用多项式对易，可证该线性空间中的任意矢量被该多项式作用后结果都为 $0$。因此，上三角矩阵的特征多项式为其零化多项式。

定理 3　线性空间第一分解定理

　　 设 $V$ 为复数域上的线性空间，$A$ 为该空间中的线性变换，且特征多项式可以写为：

\begin{equation} f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}...(\lambda-\lambda_m)^{k_m}~, \end{equation}
若设 $f_i(A)=(A-\lambda_iI)^{k_i}$，则有：
\begin{equation} V= \operatorname {ker}f(A)= \operatorname {ker}f_1(A)\oplus \operatorname {ker}f_2(A)...\oplus \operatorname {ker}f_m(A)~. \end{equation}

　　 Proof.

　　 由于 $f_i$ 的 $\lambda_i$ 彼此不同，因此互素，由推论 1 得：

\begin{equation} \operatorname {ker}f_i(A)\oplus \operatorname {ker}f_j(A)= \operatorname {ker}(f_i(A)f_j(A))~. \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {ker}f_1(A)\oplus \operatorname {ker}f_2(A)...\oplus \operatorname {ker}f_m(A)&= \operatorname {ker}(f_1(A)f_2(A))..\oplus \operatorname {ker}f_m(A)\\ &= \operatorname {ker}(f_1(A)f_2(A)f_3(A))..\oplus \operatorname {ker}f_m(A)\\ &= \operatorname {ker}f(A)=V \end{aligned} ~. \end{equation}
称 $ \operatorname {ker}f_i(A)$ 是 $A$ 的属于对应本征值的根子空间，该分解方式称为 $A$ 的根子空间分解。

　　 总结一下，任意线性变换的特征多项式都是其零化多项式，由于特征多项式可以分解为互素项，因此任意线性空间都可以分解为任意线性变换的不变子空间之直和，此时线性变换是分块对角矩阵。

1. ^ 上三角矩阵的对角元为其本征值

                     

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