化一般常微分方程组为标准方程组（常微分方程）

贡献者：零穹

预备知识　基本知识（常微分方程）

　　如子节 3 所说，存在及唯一定理是对标准常微分方程组所证明的，而一般常微分方程组都可化为这一方程组，本节就来给出这一转化程序。

1. 一个常微分方程化为标准微分方程组

　　在仅含一个常微分方程的情形，即将一般常微分方程

\begin{matrix} (1) & F (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n)}) = 0 . \end{matrix}

化为具有标准常微分方程组定义 1 的形式：

\begin{matrix} (2) & y_{i}^{'} = f_{i} (x, y_{i}, \dots, y_{m}), i = 1, \dots, m \end{matrix}

　　我们总可以从方程式 1 的已解出最高阶导数的方程开始，即

\begin{matrix} (3) & y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) . \end{matrix}

这是因为，从式 1 到式 3 的过程不属于微分方程领域，而属于函数论领域。这一过程中，某些问题被归结为微分方程领域，比如式 1 中关于

y^{(n)}

是二次的，因此

y^{(n)}

是其余变量的二值函数（假设这二值不同），实际上得到的是两个形如式 3 的微分方程组

y_{1}^{(n)}, y_{2}^{(n)}

。但是，式 1 将

y_{1}, y_{2}

并成一个

y

了，不能分解成两个形如式 3 的方程组，这就需要讨论式 1 。关于这种方程的研究，引向微分方程的奇解概念，而我们并不讨论这一问题。故这里只需记住，从式 1 总能获得式 3 。

定理 1　

　　方程

\begin{matrix} (4) & y^{(n)} = f (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) . \end{matrix}

与标准方程组

\begin{matrix} (5) & {\begin{aligned} z_{1}^{'} = z_{2} \\ z_{2}^{'} = z_{3} \\ \dots \\ z_{n - 1}^{'} = z_{n} \\ z_{n}^{'} = f (x, z_{1}, \dots, z_{n}) \end{aligned} \end{matrix}

等价。

　　其中，

\begin{matrix} (6) & z_{1} = y, z_{2} = y^{'}, \dots, z_{n} = y^{(n - 1)} . \end{matrix}

　　 证明： 1。式 4 $\Rightarrow$ 式 5

　　设 $y$ 满足式 4 ，对式 6 求导，得到

\begin{matrix} (7) & z_{i}^{'} = y^{(i)}, i = 1, \dots, n \end{matrix}

将式 6 和式 4 代入式 7 右端，即得式 5 。

　　 2。式 5 $\Rightarrow$ 式 4

　　设 $z_{1}, \dots, z_{n}$ 满足式 5 ，取 $z_{1} = y$ ，得

\begin{matrix} (8) & z_{2} = y^{'} . \end{matrix}

如此迭代入式 5 ，就有

\begin{matrix} (9) & z_{i} = y^{(i - 1)}, i = 1, \dots, n \end{matrix}

式 9 代入式 5 最后一式，即得式 4 。

　　 证毕！

2. 一般常微分方程组化为标准微分方程组

　　基于同样的理由，对于一般的常微分方程，我们总能从解出最高阶导数的方程组出发，即

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} y_{i}^{(n_{i})} = f_{i} (x, y_{1}, y_{1}^{'}, \dots, y_{1}^{(n_{1} - 1)}, \dots, y_{m}, y_{m}^{'}, \dots, y_{m}^{(n_{m} - 1)}) \\ i = 1, \dots m \end{aligned}, \end{matrix}

对一般的情形，有下面的定理成立

定理 2　

　　方程组

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} y_{i}^{(n_{i})} = f_{i} (x, y_{1}, y_{1}^{'}, \dots, y_{1}^{(n_{1} - 1)}, \dots, y_{m}, y_{m}^{'}, \dots, y_{m}^{(n_{m} - 1)}), \\ i = 1, \dots m \end{aligned} \end{matrix}

等价于标准方程组

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} z_{1}^{'} = z_{2} \\ z_{2}^{'} = z_{3} \\ \dots \\ z_{n_{1} - 1}^{'} = z_{n_{1}} \\ z_{n_{1}}^{'} = f_{1} (x, z_{1}, \dots, z_{\sum_{i = 1}^{m} n_{i}}) \\ \dots \\ z_{\sum_{i = 1}^{m - 1} n_{i} + 1}^{'} = z_{\sum_{i = 1}^{m - 1} n_{i} + 2} \\ z_{\sum_{i = 1}^{m - 1} n_{i} + 2}^{'} = z_{\sum_{i = 1}^{m - 1} n_{i} + 3} \\ \dots \\ z_{\sum_{i = 1}^{m} n_{i} - 1}^{'} = z_{\sum_{i = 1}^{m} n_{i}} \\ z_{\sum_{i = 1}^{m} n_{i}}^{'} = f_{m} (x, z_{1}, \dots, z_{\sum_{i = 1}^{m} n_{i}}) \end{aligned} \end{matrix}

　　其中

\begin{matrix} (13) & {\begin{aligned} z_{1} = y_{1}, \dots, z_{n_{1}} = y_{1}^{(n_{1} - 1)} \\ z_{n_{1} + 1} = y_{2}, \dots, z_{n_{1} + n_{2}} = y_{2}^{(n_{2} - 1)} \\ \dots \\ z_{\sum_{i}^{m - 1} n_{i} + 1} = y_{m}, \dots, z_{\sum_{i}^{m} n_{i}} = y_{m}^{(n_{m} - 1)} \end{aligned} \end{matrix}

　　证明和定理 1 完全类似。

　　由常微分方程组阶的定义子节 1 ，可知方程组式 11 是 $m$ 个关于 $y_{i}$ 为 $n_{i}$ 阶的 $\sum_{i = 1}^{m} n_{i}$ 阶微分方程组，而式 13 是 $\sum_{i = 1}^{m} n_{i}$ 个关于 $z_{i}$ 为 1 阶的 $\sum_{i = 1}^{m} n_{i}$ 阶的微分方程组。而这两方程组等价。