能均分定理
贡献者： addis
若一个系统有若干个自由度（$x$ 或 $p$）对能量的贡献是其平方的函数，例如动能 $p_x^2/(2m)$，势能 $kx^2/2$，$ky^2/2$，等。那么其对热容的贡献就是 $kT/2$。
用巨正则系宗证明
\begin{equation}
\begin{aligned}
Q &= \frac{1}{h^N} \int \exp\left(-\beta \sum_i \alpha_i x_i^2 - \beta \sum_i \gamma_i p_i^2\right) \,\mathrm{d}^{N}{x} \,\mathrm{d}^{N}{p} = \frac{1}{h} \int \exp\left(-\alpha_1 x_1^2 \beta\right) \,\mathrm{d}{x} \\
& \times \int \dots \times \int \dots \propto \sqrt{\frac{1}{\beta}} \times \dots
\end{aligned}~
\end{equation}
这里只分析第一个自由度。系统能量为
\begin{equation}
E = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln Q = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \sqrt{\frac{1}{\beta}} - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \dots = \frac{1}{2\beta} + \dots = \frac{1}{2}kT + \dots~
\end{equation}