二项式定理（高中）

贡献者： jingyuan; addis

预备知识　组合（高中）

1. 定义

\begin{matrix} (1) & (a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r} + \dots + C_{n}^{n} b^{n} (n \in N_{+}) . \end{matrix}

　　这个公式所表示的规律叫做二项式定理（binomial theorem），等式右边的多项式叫做 $(a + b)^{n}$ 的二项展开式（binomial expansion），它一共有 $n + 1$ 项，其中各项系数 $C_{n}^{r} (r = 0, 1, \dots, n)$ 叫做展开式的二项式系数（binomial coefficient）。展开式中的 $C_{n}^{r} a^{n - r} b^{r}$ 项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第 $r + 1$ 项。

　　 注意：二项式系数不是项的系数。

2. 推导

　　我们在初中时就学过平方和公式， $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 显然这就是一个二项式，我们先从这里开始研究。

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} (a + b)^{2} & = a (a + b) + b (a + b) \\ = a^{2} + a b + a b + b^{2} \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

　　我们将式 2 的过程图形化。

图 1：平方和的运算过程

　　我们会发现在树状图的分支会延伸到同一深度，且各项的次数相同，在树状图延伸的过程中，每一项都会有 $a$ 和 $b$ 两种情况，那么二项式系数的问题就转换成了排序问题，对于 $a^{r} b^{n - r}$ ， $a$ 和 $b$ 有多少种排序方式。

　　 注意：这里不是排列，不符合排列定义

　　此时我们有 $n - r$ 个 $a$ 和 $r$ 个 $b$ 我们对其进行编号，将其转化为排列问题

　　 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - r}; b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r} .$

　　则共有 $A_{n}^{n}$ 种排列，

　　之后我们排除掉重复的排列，

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{A_{n}^{n}}{A_{r}^{r} A_{n - r}^{n - r}} & = \frac{n!}{r! (n - r)!} \\ = \frac{A_{n}^{r}}{A_{r}^{r}} \\ = C_{n}^{r} . \end{aligned} \end{matrix}