隔板法（排列组合）
贡献者： addis
未完成：如果确定不是高中内容，应该移动到组合数学：计数
1在排列组合问题中，隔板法（stars and bars）常用来解决以下问题：
例 1
把 $n$（$n = 1,2,\dots$）个不加区分的小球放进 $m$（$1\leqslant m\leqslant n$）个有编号的盒子，每个盒子至少有一个小球，有多少种不同的方法？
图 1：题目示意图
我们可以想象这些小球排成一列后被 $m-1$ 个隔板隔开，每一组被隔开的小球就相当于装进一个盒子中。小球之间一共有 $n-1$ 个空隙可以插入隔板，一个空隙最多插一个隔板，所以不同的情况数就是组合 $C_{n-1}^{m-1}$。
图 2：隔板法示意图
1. 盒子可以为空
未完成：应当是高中内容，不需要引入范德蒙恒等式才对：另外开词条吧
把所有的情况根据非空盒子的个数分类。非空盒子个数可能为 $i=1$ 个（$n$ 个小球都在里面），$i=2$ 个，一直到 $i=\min \left\{m,n \right\} $ 个（若 $n\leqslant m$ 则每个小球都在不同的盒子）。首先从 $m$ 个盒子里面选择 $i$ 个非空盒子会有 $C_m^i$ 种情况。再考虑这 $i$ 个有编号盒子装 $n$ 个小球（不为空）又有几种情况：用隔板法得到共有 $C_{n-1}^{i-1}$ 种。所以一个 $i$ 对应 $C_m^i C_{n-1}^{i-1}$ 种情况。最后把所有不同 $i$ 的情况数加在一起，得出所有情况的总数为
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^{\min \left\{m,n \right\} } C_m^i C_{n-1}^{i-1} = \sum_{i=1}^{\min \left\{m,n \right\} } C_m^i C_{n-1}^{n-i}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{\min \left\{m,n \right\} } C_m^i C_{n-1}^{n-i} = C_{m+n-1}^n = \frac{(m+n-1)!}{n!(m - 1)!}~.
\end{equation}