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解析函数和矢量分析有紧密的关联，如果把复平面对应到 $x$-$y$ 直角坐标系，那么 $f(z)$ 的实部和虚部 $u(z), v(z)$ 看作矢量的 $x,y$ 分量，那么 $f(z)$ 就定义了一个复平面上的矢量场
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} (x,y) = u(x,y) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v(x,y) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~,
\end{equation}
而 $f(z)$ 的复共轭 $f^*(z)$ 对应的二维矢量场为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{g}} (x,y) = u(x,y) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - v(x,y) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
定理 1
函数 $f:\mathbb C\to\mathbb C$ 在某区域解析的充分必要条件是：$ \boldsymbol{\mathbf{g}} (x,y)$ 是二维调和场，即散度和旋度都为零。
证明留做习题。由于 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 的旋度为零，必定存在势函数 $\phi$，使
\begin{equation}
u = \frac{\partial \phi}{\partial x} \qquad -v = \frac{\partial \phi}{\partial y} ~,
\end{equation}
且满足
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \phi = 0~.
\end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 必定可以表示为调和函数的梯度。
我们再来看 $ \mathrm{i} f^*(z)$ 代表的矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} (x,y)$。
\begin{equation}
\mathrm{i} f^*(z) = \mathrm{i} (u - v \mathrm{i} ) = v + u \mathrm{i} ~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{h}} (x,y) = v(x,y) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + u(x,y) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
由柯西公式易得 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{h}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $。
定理 2
函数 $f:\mathbb C\to\mathbb C$ 在某区域解析的充分必要条件是：$ \boldsymbol{\mathbf{g}} (x,y), \boldsymbol{\mathbf{h}} (x,y)$ 旋度都为零。
证明留做习题。