玻尔原子模型（约化质量）

贡献者： addis

预备知识　玻尔原子模型

　　玻尔氢原子模型假设原子核的质量远大于电子质量。得出的结论是

\begin{matrix} (1) & E_{n} = - \frac{m Z^{2} e^{4}}{8 ϵ_{0}^{2} h^{2}} \frac{1}{n^{2}} \approx - 13.6 eV \frac{Z^{2}}{n^{2}} . \end{matrix}

当考虑原子核运动的时候（但仍然忽略万有引力），上式变为（推导见下文）

\begin{matrix} (2) & E_{n}^{'} = - \frac{μ Z^{2} e^{4}}{8 ϵ_{0}^{2} h^{2}} \frac{1}{n^{2}}, \end{matrix}

其中

μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})

叫做约化质量。

m_{1}

和

m_{2}

分别是原子核质量和核外电子质量。　要注意这时的

E_{n}

包括了原子核的动能。

　　在自然界中，氢原子大部分以氕的形式存在，即由一个质子一个电子组成，其他两种同位素氘氚的比例要小得多，氘只有 $0.01 %$ ，氚还要小许多数量级。所以对大部分氢原子，约化质量和电子质量之比为（ $m_{p}$ 表示质子质量，数值参考 “物理学常数” 的式 9 式 10 ）

\begin{matrix} (3) & \frac{μ}{m} = \frac{m_{p}}{m + m_{p}} = 0.99945567942 . \end{matrix}

所以修正前后氕原子的基态能量分别为

\begin{matrix} (4) & E_{1} = - 13.605693123 eV, E_{1}^{'} = - 13.598287264 eV, \end{matrix}

而实验数据为¹

- 13.59844 eV

。修正前后相对误差分别为

5.3 \times 10^{- 4}

和

1.1 \times 10^{- 5}

。修正前后相对变化约等于电子和质子的质量之比，约²

1 / 1836

。所以在精度要求较高的实验中，必须使用约化质量。

1. 推导

　　类比 “玻尔原子模型” 中的推导：

　　 1. 经典力学的条件

\begin{matrix} (5) & m_{1} \frac{v_{1}^{2}}{r_{1}} = m_{2} \frac{v_{2}^{2}}{r_{2}} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Z e^{2}}{(r_{1} + r_{2})^{2}} . \end{matrix}

2. 角动量量子化条件（注意是总角动量）

\begin{matrix} (6) & m_{1} v_{1} r_{1} + m_{2} v_{2} r_{2} = n ℏ . \end{matrix}

3. 质心系条件

\begin{matrix} (7) & m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2}, m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2} . \end{matrix}

要求的能量为

\begin{matrix} (8) & E_{n} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Z e^{2}}{r_{1} + r_{2}} . \end{matrix}

联立这几条式子，就可以解出考虑原子核运动的能级公式。推荐的步骤是，把所有的

r_{2}

和

v_{2}

写成

m_{1} r_{1} / m_{2}

和

m_{1} v_{1} / m_{2}

。然后用和玻尔原子模型中一样的方法解出来即可。

1. ^ 见 NIST 相关页面。
2. ^ 推导：使用泰勒级数式 8 ， $μ / m = m_{p} / (m + m_{p}) = 1 / (1 + m / m_{p}) \approx 1 - m / m_{p}$ 。