贡献者： addis
玻尔氢原子模型假设原子核的质量远大于电子质量。得出的结论是
\begin{equation}
E_n = -\frac{mZ^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\frac{1}{n^2} \approx - 13.6 \,\mathrm{eV} \frac{Z^2}{n^2}~.
\end{equation}
当考虑原子核运动的时候（但仍然忽略万有引力），上式变为（推导见下文）
\begin{equation}
E'_n = -\frac{\mu Z^2 e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2}~,
\end{equation}
其中 $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ 叫做
约化质量。$m_1$ 和 $m_2$ 分别是原子核质量和核外电子质量。 要注意这时的 $E_n$ 包括了原子核的动能。
在自然界中，氢原子大部分以氕的形式存在，即由一个质子一个电子组成，其他两种同位素氘氚的比例要小得多，氘只有 $0.01\%$，氚还要小许多数量级。所以对大部分氢原子，约化质量和电子质量之比为（$m_p$ 表示质子质量，数值参考 “物理学常数” 的式 9 式 10 ）
\begin{equation}
\frac{\mu}{m} = \frac{m_p}{m + m_p} = 0.99945567942~.
\end{equation}
所以修正前后氕原子的基态能量分别为
\begin{equation}
E_1 = -13.605693123 \,\mathrm{eV} ~,\qquad
E'_1 = -13.598287264 \,\mathrm{eV} ~,
\end{equation}
而实验数据为
1 $-13.59844 \,\mathrm{eV} $。修正前后相对误差分别为 $5.3 \times 10^{-4} $ 和 $1.1 \times 10^{-5} $。修正前后相对变化约等于电子和质子的质量之比，约
2 $1/1836$。所以在精度要求较高的实验中，必须使用约化质量。
1. 推导
类比 “玻尔原子模型” 中的推导：
1. 经典力学的条件
\begin{equation}
m_1 \frac{v_1^2}{r_1} = m_2 \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{(r_1 + r_2)^2}~.
\end{equation}
2. 角动量量子化条件（注意是总角动量）
\begin{equation}
m_1 v_1 r_1 + m_2 v_2 r_2 = n\hbar ~.
\end{equation}
3. 质心系条件
\begin{equation}
m_1 r_1 = m_2 r_2 ~,\qquad m_1 v_1 = m_2 v_2~.
\end{equation}
要求的能量为
\begin{equation}
E_n = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Z e^2}{r_1 + r_2}~.
\end{equation}
联立这几条式子，就可以解出考虑原子核运动的能级公式。推荐的步骤是，把所有的 $r_2$ 和 $v_2$ 写成 $m_1 r_1/m_2$ 和 $m_1 v_1/m_2$。然后用和玻尔原子模型中一样的方法解出来即可。
1. ^ 见 NIST 相关页面。
2. ^ 推导：使用泰勒级数式 8 ，$\mu/m = m_p/(m + m_p) = 1/(1 + m/m_p) \approx 1 - m/m_p$。