贡献者： 零穹
对作用量
\begin{equation}
S=\int_{t_1}^{t_2}L \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
由
式 2 ，就有
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +H \left(q^{(2)},p^{(2)},t^{(2)} \right) =0~.
\end{equation}
同样，用
式 2 中的
\begin{equation}
p_i^{(2)}= \frac{\partial S}{\partial {q^i}^{(2)}} ~.
\end{equation}
代入
式 2 ，就得到方程：
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +H \left({q^1}^{(2)},\cdots,{q^n}^{(2)}; \frac{\partial S}{\partial {q^1}^{(2)}} ,\cdots, \frac{\partial S}{\partial {q^n}^{(2)}} ;t^{(2)} \right) =0~.
\end{equation}
若去掉表示末时刻的上指标 $(2)$，而默认所有变量都对应末时刻的值，上式就写成
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial t} +H \left({q^1},\cdots,{q^n}; \frac{\partial S}{\partial {q^1}} ,\cdots, \frac{\partial S}{\partial {q^n}} ;t \right) =0~.
\end{equation}
这个关于 $S$ 的一阶偏微分方程，就称为
哈密顿-雅可比方程。
1. 利用哈密顿-雅可比方程求解系统的运动
1一阶偏微分方程的解（全积分）包含的独立常数之个数与独立变量的数目相同。由式 5 ，这里 $S$ 的独立变量是 $n$ 个坐标和 1 个时间，共 $n+1$ 个。而 $S$ 仅以其导数的形式出现在方程中，所以解中的任意常数中有一个是以相加的形式出现的，故哈密顿-雅可比方程解的全积分形式为
\begin{equation}
S=f(t,q^1,\cdots,q^n,\alpha_1,\cdots,\alpha^n)+A~,
\end{equation}
其中 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n,A$ 是任意常数。
在相空间中进行正则变换，并以 $f(t,q,\alpha)$ 为母函数，而 $\alpha_1,\alpha_n$ 为新的动量，新的坐标以 $\beta^1,\cdots,\beta^n$ 表示。由式 15
\begin{equation}
p_i= \frac{\partial f}{\partial q^i} ,\quad \beta^i= \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial f}{\partial t} ~.
\end{equation}
由于 $f$ 满足哈密顿-雅可比方程，所以
\begin{equation}
H'=H+ \frac{\partial f}{\partial t} =H+ \frac{\partial S}{\partial t} =0~.
\end{equation}
由于正则变换下新变量的运动方程任满足正则形式，而由上式，这时 $H'=0$，所以
\begin{equation}
\dot\alpha_i=0,\quad\dot\beta^i=0~,
\end{equation}
即 $\alpha_i,\beta^i$ 都为常数。
另外，利用 $n$ 个方程
\begin{equation}
\beta^i= \frac{\partial f}{\partial \alpha_i} ~.
\end{equation}
可以将 $n$ 个坐标 $q$ 用时间和 $2n$ 个常数 $\alpha,\beta$ 表示出来，这给出了运动方程的通积分。
1. ^ 参考朗道《力学》