贡献者： 零穹; addis
简单来说，正则变换就是在相空间中选择另一组变量 $P,Q$ 作为坐标，使得和原来的变量 $p,q$ 之间一一对应，并且要求新坐标 $P,Q$ 仍满足哈密顿正则方程。本文阐明正则变换的意义，条件，生成函数及生成函数的四种主要形式。
为了适应现代语言的书写习惯，本文将指标 q 的坐标分量指标写在上面，而动量 p 的指标写在下面。
1. 为什么要作正则变换
若存在循环坐标 $q^s$，即拉氏量 $L$ 不显含 $q^s$，则哈密顿量
\begin{equation}
H=\sum_i p_i\dot q^i-L~,
\end{equation}
显然也不含循环坐标 $q^s$。由哈密顿正则方程
式 5
\begin{equation}
\dot p_s=- \frac{\partial H}{\partial q^s} =0~,
\end{equation}
即 $p_s$ 是体系的循环积分（守恒量）。这就是说，哈密顿正则方程具有容易获得系统循环积分的优点。
之所以要在相空间中选择新的变量作为坐标，是因为人们总希望尽可能多找到系统运动方程的积分（守恒量），也就是要使尽可能多的坐标成为循环坐标。然而，能否出现循环坐标及循环坐标的数量是同坐标系的选择直接相关的，这可以从下面的例子看出。
例 1
已知在二维平面上，质量为 $m$ 的质点受到来自 $O$ 点的引力场的作用（引力势能为 $-\mu\frac{m}{r}$）。那么在极坐标和平面直角坐标系下，其拉氏量和动量分别为
\begin{equation}
\begin{aligned}
L&=\frac{m}{2} \left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) +\mu\frac{m}{r}~,\\
L&=\frac{m}{2} \left(\dot x^2+\dot y^2 \right) +\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}~,\\
p_\theta&= \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} =mr^2\dot\theta~,\\
p_r&= \frac{\partial L}{\partial \dot r} =m\dot r~,\\
p_x&= \frac{\partial L}{\partial \dot x} =m\dot x~,\\
p_y&= \frac{\partial L}{\partial \dot y} =m\dot y~.
\end{aligned}
\end{equation}
而哈密顿量分别为（注意，在拉氏量 $L=T-V$ 时，$H=T+V$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
H&=\frac{m}{2} \left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) -\mu\frac{m}{r}\\
&=\frac{1}{2m} \left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2} \right) -\mu\frac{m}{r}~,\\
H&=\frac{m}{2}(\dot x^2+\dot y^2)-\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}\\
&=\frac{1}{2m} \left(p_x^2+p_y^2 \right) -\mu\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
从哈密顿量看到，在极坐标系中 $\theta$ 是循环坐标，从而就有一循环积分；而在直角坐标系中，并无循环坐标存在。
考虑到通过正则方程获得循环积分的便利性，和循环坐标与坐标系选择的相关性，人们一方面要在进行坐标变换时，使新坐标描述系统时仍能满足正则方程；一方面要设法找到成为循环坐标的变量。说白了，我们所需要的和真正感兴趣的坐标变换，绝非随意的一种变换，而是指在限定意义下的坐标变换，即以新坐标描述的体系的哈密顿量仍能满足正则方程为前提条件，这样的坐标变换就称为正则变换（canonical transformation）。
2. 正则变换的条件
在相空间中，设旧坐标 $(p,q)$ 和新坐标 $(Q,P)$ 的转换关系为
\begin{equation}
Q^i=Q^i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t)~.
\end{equation}
设新坐标描述的哈密顿量为 $H'=H'(P,Q)$，要使运动方程具有正则形式，即新变量要满足下面的正则方程
\begin{equation}
\dot Q^i= \frac{\partial H'}{\partial P_i} ,\quad \dot P_i=- \frac{\partial H'}{\partial Q^i} ~.
\end{equation}
该方程可以通过下面变分得到
\begin{equation}
\delta\int \left(\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} \right) =0~,
\end{equation}
而旧变量的哈密顿正则方程是通过变分
\begin{equation}
\delta\int \left(\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} \right) =0~
\end{equation}
得到的。要使
式 7 ，
式 8 描述的是同一物理系统，那么它们的被积函数只能相差某个关于相空间坐标的函数 $F$ 的全微分，因为这是在变分时不起作用的常数。因此
\begin{equation}
\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} =\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} + \,\mathrm{d}{F} ~.
\end{equation}
显然，若坐标变换满足该条件，该变换便是
正则变换。
定义 1 正则变换
在相空间 $(p,q)$ 中，若以新变量 $(P,Q)$ 为新坐标，且新旧坐标的变换
\begin{equation}
Q^i=Q^i(p,q,t),\quad P_i=P_i(p,q,t)~
\end{equation}
满足关系
\begin{equation}
\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-H \,\mathrm{d}{t} =\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i-H' \,\mathrm{d}{t} + \,\mathrm{d}{F} ~,
\end{equation}
其中 $H,H'$ 分别是以旧坐标 $(p,q)$ 和新坐标 $(P,Q)$ 描述的哈密顿量。则称坐标变换
式 10 为对应物理系统的
正则变换，函数 $F$ 称为该正则变换的
生成函数或
母函数。
3. 生成函数的四种形式
既然生成函数只要是关于相空间坐标的函数，那么我们就可以期望它是变量 $p,q,P,Q$ 的函数，在各种可能的生成函数中，主要的生成函数是自变量为一新一旧变量和时间 $t$ 的函数。这有四种可能：$F_1(p,P,t),F_2(p,Q,t),F_3(q,P,t),F_4(q,Q,t)$。
生成函数 $F_4(q,Q,t)$
改写 式 11 为：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} =\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
则得到的生成函数是关于新旧变量 $q,Q$（和时间 $t$）的函数 $F=F(q,Q,t)$。此时，有
\begin{equation}
p_i= \frac{\partial F}{\partial q^i} ,\quad P_i=- \frac{\partial F}{\partial Q^i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F}{\partial t} ~.
\end{equation}
显然，$F_4=F$。
生成函数 $F_3(q,P,t)$
若在式 12 中让 $F$ 由 $F+\sum_iP_i Q^i$ 代替，那么
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(F+\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i \right) =\sum_i p_i \,\mathrm{d}{q} ^i+\sum_i Q^i \,\mathrm{d}{P} _i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
于是就得到关于 $q,P$ 的母函数 $F_3=F+\sum_iP_i Q^i$。此时
\begin{equation}
p_i= \frac{\partial F_3}{\partial q^i} ,\quad Q^i= \frac{\partial F_3}{\partial P_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_3}{\partial t} ~.
\end{equation}
生成函数 $F_2(p,Q,t)$
同理，若用 $F-\sum_ip_iq^i$ 代替 $F$，就有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(F-\sum_ip_i q^i \right) =-\sum_i q^i \,\mathrm{d}{p} _i-\sum_i P_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
于是就得到关于 $p,Q$ 的母函数 $F_2=F-\sum_ip_i q^i$。此时
\begin{equation}
q^i=- \frac{\partial F_2}{\partial p_i} ,\quad P_i=- \frac{\partial F_2}{\partial Q^i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_2}{\partial t} ~.
\end{equation}
生成函数 $F_1(p,P,t)$
用 $F_2+\sum_iP_iQ^i$ 代替式 16 中的 $F_2$，就有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}\left(F-\sum_ip_i q^i+\sum_i P_i Q^i \right) =-\sum_i q^i \,\mathrm{d}{p} _i+\sum_i Q^i \,\mathrm{d}{P} _i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
于是就得到关于 $p,P$ 的母函数 $F_1=F-\sum_ip_i q^i+\sum_i P_i Q^i$。此时
\begin{equation}
q^i=- \frac{\partial F_1}{\partial p_i} ,\quad Q^i= \frac{\partial F_1}{\partial P_i} ,\quad H'=H+ \frac{\partial F_1}{\partial t} ~
\end{equation}
对于这四种母函数，实际上只需要记住关于 $q,Q$ 的母函数 $F_4=F$，其满足
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{F} =\sum_ip_i \,\mathrm{d}{q} ^i-\sum_iP_i \,\mathrm{d}{Q} ^i+(H'-H) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
小记
其它几种可以这样方便记忆：若母函数自变量相对 $F$ 只改变关于新变量 $P,Q$ 的函数，则只要母函数 $F$ 加上 $\sum_iP_iQ^i$；若只改变成关于旧变量 $p,q$ 的函数，则 $F$ 减 $-\sum_ip_iq^i$；若同时改变，则 $F$ 既加上 $\sum_iP_iQ^i$ 又减 $-\sum_ip_iq^i$。
值得注意的是，母函数关于时间的偏导数总具有相同的形式 $H'-H$。
正则变换的广泛性，使得原来的广义坐标和广义动量 $q,p$ 的概念丧失其原始含义，因为 $P,Q$ 都和 $p,q$ 联系在一起，$Q$ 不再是纯粹的空间坐标，$P$ 也不再是纯粹的动量。$P,Q$ 的区别仅仅在于名称的不同，例如变换 $Q^i=p_i,P_i=-q^i$ 并不影响方程的正则形式。由于这个原因，变量 $p,q$ 经常被称为正则共轭变量。
使用何种母函数，要视方便程度而定。
定理 1
泊松括号想对正则变换是不变的，即
\begin{equation}
\{f,g\}_{p,q}=\{P,Q\}_{P,Q}~,
\end{equation}
其中下指标是指微分运算是对哪两个变量进行的。
1为避免繁琐的证明，可这样论证：假定 $g$ 是某个系统的哈密顿量，那么 $\{f,g\}_{p,q}= \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} $。然而 $ \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} $ 只依赖于该系统的运动性质，而不以变量的特定选择有关。因此，从一组正则变量变到另一组正则变量时，泊松括号并不改变。
例 2 一个重要的例子
设 $p_t,q_t$ 是正则变量 $p,q$ 在 $t$ 时刻的值，而 $p_{t+\tau},q_{t+\tau}$ 是在另一时刻 $t+\tau$ 的值。后者是前者的某一函数
\begin{equation}
\begin{aligned}
p_{t+\tau}&=p(p_t,q_t,t,\tau)~,\\
q_{t+\tau}&=q(p_t,q_t,t,\tau)~.
\end{aligned}
\end{equation}
若将这一变换视作 $p_t,q_t$ 到 $p_{t+\tau},q_{t+\tau}$ 的坐标变换，则这即是正则变换，因为由
式 2
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{S} =\sum \left(p_{t+\tau} \,\mathrm{d}{q_{t+\tau}} -p_{t} \,\mathrm{d}{q_{t}} \right) -(H_{t+\tau}-H_t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
于
式 12 对比，可知 $-S$ 是变换的母函数。
1. ^ 参考 朗道《力学》