贡献者： 零穹; addis
本文将证明几个个关于作用量
\begin{equation}
S=\int_{t_1}^{t_2}L \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
的重要公式，其中有两个是通常遇到的，即作用量对末时刻的偏导数等于负的能量（哈密顿量），对末坐标的偏导数等于动量对应分量，或说作用量的梯度等于动量。
具体来说，要证下面公式：
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} =H^{(1)}~,\\
& \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} =-H^{(2)}~,\\
& \frac{\partial S}{\partial {q}^{i(2)}} =p_i^{(2)}~,\\
& \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (1)}} =-p_i^{(1)}~,\\
\,\mathrm{d}{S} =\sum_i p_i^{(2)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (2)}-&H^{(2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}-\sum_i p_i^{(1)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (1)}+H^{(1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里，上标 $(1),(2)$ 分别代表起点和终点对应值。
既然式 2 是关于端点的偏微分，这就是说这里的作用量实际上是端点可变的作用量。
可能读者已经疑惑了，作用量的自变量不应是个函数么？怎么这里的自变量是起止时刻和初末位置了。事实上，我们要找的作用量对应物理系统的演化，那么系统演化的曲线是使作用量取极值的曲线，而在端点和起止时刻确定时系统的演化我们认为只有一个，那么作用量就可看成这一极值曲线的两端点和对应起止时刻的函数。
1. 证明：
这里的公式事实上和变分学的端点可变问题中的一样，那里有更严格的证明，只需明确物理意义即可。然而，我们这里给出较之更适合物理人的证明，以避免深入了解变分学。
我们先证明关于端点的偏导数，即初末时刻不变，而仅有一端点变化时的情形。
注意到
\begin{equation}
\delta S=\left. \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \delta q^i\right|_{t_1}^{t_2}+\int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \delta q \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
因为系统真实演化，那么拉格朗日方程（
式 2 ）成立，上式积分项为 0。而初位置固定，即 $\delta q^{(1)}=0$，于是
\begin{equation}
\delta S=\sum_i \frac{\partial L}{\partial {\dot q}^{i (2)}} \delta {q}^{i (2)}\Rightarrow \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (2)}} = \frac{\partial L}{\partial {\dot q}^{i (2)}} ~,
\end{equation}
注意动量定义
\begin{equation}
p_i:= \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} ~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial {q}^{i (2)}} =p_i^{(2)}~.
\end{equation}
同样，若末时刻 $q^{(2)}$ 不变，仅初始刻 $q^{(1)}$ 变，就是
\begin{equation}
\frac{\partial S}{\partial {q}^{i (1)}} =-p_i^{(1)}~.
\end{equation}
下面证对时间的偏导数，即初末位置不变，仅初末一时刻变化时的情形。
根据作用量 $S$ 的定义，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{S} =L^{(2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}-L^{(1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}~.
\end{equation}
另一方面，$S$ 可看成初末位置和时间的函数，于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\,\mathrm{d}{S} &= \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}+\sum_i \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (1)}} \;{\dot q}^{i (1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}+ \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}+\sum_i \frac{\partial S}{\partial {q}^{i (2)}} \; {\dot q}^{i (2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)} \\
&= \left( \frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} -\sum_i p_i^{(1)} {\dot q}^{i (1)} \right) \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}+ \left( \frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} +\sum_i p_i^{(2)}{\dot q}^{i (2)} \right) \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
比较
式 8 ，
式 9 ，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} &=\sum_i p_i^{(1)}{\dot q}^{i (1)}-L^{(1)}~,\\
\frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} &=- \left(\sum_i p_i^{(2)}{\dot q}^{i (2)}-L^{(2)} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
由哈密顿量 $H$ 定义：
\begin{equation}
H:=\sum_i p_i {\dot q^i}-L~.
\end{equation}
就成为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\partial S}{\partial t^{(1)}} &=H^{(1)}~,\\
\frac{\partial S}{\partial t^{(2)}} &=-H^{(2)}~.
\end{aligned}
\end{equation}
将
式 12 带入
式 9 就有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{S} =H^{(1)} \,\mathrm{d}{t} ^{(1)}-\sum_ip_{(1)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (1)}-H^{(2)} \,\mathrm{d}{t} ^{(2)}+\sum_i p_{(2)} \,\mathrm{d}{q} ^{i (2)}~.
\end{equation}
证明结束。