贡献者： 零穹; Giacomo
1. 素域
引理 1
剩余类环 $\mathbb Z_p$ 是个域（定义 2 ），当且仅当 $p$ 是素数。
当 $p$ 为素数的时候，我们把 $\mathbb Z_p$ 称为素域（或者质域），记做 $\mathbb F_p$。
证明：
若 $p$ 不是素数，则由素数定义，存在整数 $1< r,s< p$, 使得 $rs=p$，于是 $\overline r\overline s=\overline p=\overline 0$（见同余性质 2），这就是说 $\mathbb Z_p$ 中有零因子（定义 1 ）$\overline r,\overline s$。由于域不可能有零因子，所以 $p$ 非素数时 $\mathbb Z_p$ 不是域，由逆否命题的正确性，$\mathbb Z_p$ 是域则 $p$ 是素数。
其次，假设 $p$ 是素数，由于 $\mathbb Z_p$ 是有单位元的交换环（定理 1 ），证明其是域只需证明其上非零元都有逆元。
任意 $s\not\equiv 0(p)$，当 $k=1,\cdots,p-1$ 时，有 $ks\not\equiv 0(p)$。事实上，设 $s\in\overline r, r\in{1,\cdots,p-1}$，则 $\overline k\overline s=\overline k\overline r$（见同余性质 2），由于任一整数都可写成同一组两两不等的素数方幂的乘积，并考虑到 $k,r< p$, 那么：
\begin{equation}
k=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}p^0, \quad r=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_n^{\beta_n}p^0,\quad ks=p_1^{\alpha_1+\beta_1}p_2^{\alpha_2+\beta_2}\cdots p_n^{\alpha_n+\beta_n}p^0~,
\end{equation}
其中 $p_1,\cdots,p_n$ 是小于 $p$ 的素数，而
\begin{equation}
p=p_1^0p_2^0\cdots p_n^{0}p~.
\end{equation}
$p$ 整除 $kr$ 意味着 $p$ 是 $kr$ 的因数，这相当于 $kr$ 的素数分解式中包含数 $p$ 的分解式（相当于分解式中各素数因子幂次都要大于因数对应素数的幂次）。然而 $kr$ 的分解式中 $p$ 的幂次为 0，这意味着 $p$ 不是 $kr$ 的因数，即 $ks\not\equiv 0(p)$。
考查元素
\begin{equation}
\overline s,\overline{2s},\cdots,\overline{(p-1)s}~,
\end{equation}
其中 $\overline s\not=\overline 0$ 由上面所述，它们都不为 0。容易证得其中任意两元素都不相等，否则 $\overline{ks}=\overline{ls},\;k< l$，则 $\overline(l-k)=\overline 0$，这是不可能的。于是除了顺序之外，序列（
式 3 ）和序列
\begin{equation}
\overline 1,\overline 2,\cdots,\overline{p-1}~
\end{equation}
重合。注意元素个数相同意味着集合间存在双射，对于这里，映射
\begin{equation}
f:\overline{ns}\mapsto \overline n,\quad n\in\{1,\cdots,p-1\}~
\end{equation}
构成这样的双射，于是可以找到整数 $1\leq s'\leq p-1$，使得 $\overline{ss'}=\overline 1$，$\overline{s's}$ 由 $f^{-1}(\overline 1)$ 给出，即 $\overline{s'}$ 是 $\overline s$ 的逆元。于是 $\mathbb Z_p$ 是个域。
证毕！
2. 应用：费马小定理的证明
费马小定理是法国律师费马于 1636 年发现的，其由欧拉在 1736 年出版的名为 “一些与素数有关的定理的证明” 的论文集中第一次给出证明。其描述如下
定理 1 费马小定理
若 $p$ 是素数，$m$ 是一个不能被 $p$ 整除的整数，则有同余式(定义 1 )
\begin{equation}
m^{p-1}\equiv 1(p)~.
\end{equation}
翻译成自然语言，就是说若整数 $m$ 不能被素数 $p$ 整除，则 $p$ 除 $m^{p-1}$ 余数为 1。
值得注意的是，费马小定理是更一般的欧拉定理（链接）的特殊情形。
证明：
由子节 1 中的式 3 和式 4 集合的相等性知
\begin{equation}
\{\overline m,\overline{2m},\cdots,\overline{(p-1)m}\}=\{\overline 1,\overline 2,\cdots,\overline{p-1}\}~.
\end{equation}
两边全体元素相乘：
\begin{equation}
\left(\Pi_{k=1}^{p-1}\overline k \right) \overline{m}^{p-1}=\Pi_{k=1}^{p-1}\overline k~.
\end{equation}
由
引理 1 ，$\mathbb Z_p$ 是个域，域是个无零因子环，其满足消去律（链接），于是乘积 $\Pi_{k=1}^{p-1}\overline k\neq\overline0$(由于每个 $\bar k\neq0$，如果该式不成立，意味着零因子的存在，而这是不可能的)可消去，得到
\begin{equation}
\overline m^{p-1}=\overline 1~.
\end{equation}
翻译成同余的语言，即得
式 6 。
证毕！