分式域

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 环和域

  1整环 $R$ 可以添加元素从而成为一个域,这个域就叫做 $R$ 的分式域(field of fractions).我们不妨用一个熟悉的例子来展示怎么添加新的元素:

例 1 

   考虑整数环 $\mathbb{Z}$,绝大多数元素都是没有乘法逆元的,除了 $\pm 1$.对于 $2\in\mathbb{Z}$,它在环上没有乘法逆元,那么我们就引入一个新的元素 $1/2$,使得 $2\cdot 1/2=1$.

   如果用 $1/2$ 去乘以别的元素,考虑到 $\mathbb{Z}$ 是整环,可以进行乘法消去律,那么我们可以从别的元素中抽取出 $2$ 的乘积,来抵消掉 $1/2$,比如说,$4\cdot 1/2=(2\cdot 2)\cdot 1/2=2\cdot(2\cdot 1/2)=2\cdot 1=2$.但是 $3\cdot 1/2$ 并不存在于 $\mathbb{Z}\cup\{1/2\}$ 中,所以也需要把它作为一个新元素加入进去,记为 $3/2$,并且满足 $2\cdot 3/2=3$.同时,$1/2$ 之间也可以彼此互相乘积,得到新的元素,如 $1/4$、$1/8$ 等.也就是说,用 $1/2$ 不停地去乘以已有的任何元素,如果得到新元素就添加进我们的集合中,再进行这样的运算.

   除了乘法可以引出新的元素,加法也可以.$1/2+1$ 如何计算呢?记住我们是用 $2\cdot 1/2$ 来定义 $1/2$ 的,所以此处可以巧用该定义来推导:$2\cdot(1/2+1)=1+2=3$,因此 $1/2+1=3/2$.

   以上累赘的概括新元素的方法,也可以更紧凑地表达为:对新元素 $1/2$,其关于加法和乘法扩充后的集合为 $\{r\cdot (1/2)^n|r\in\mathbb{Z}, n\in \mathbb{Z}\}$.

   对每一个元素都这样操作,添加它们的逆元,以及每一次添加的逆元和所有已有元素运算的结果,得到的集合就是一个域.对于 $\mathbb{Z}$ 环的情况,这个域就是有理数域 $\mathbb{Q}$.

   整环添加新元素来构成域的核心思想,就是不停地用新元素和已有元素进行乘法、加法运算,如果得到新的元素就囊括进去,这是为了保证域的 “乘法封闭性”.

   我们把上述累赘的例子抽象成以下定义,可能比例子要逻辑更清晰一些:

定义 1 

   给定一个带有运算的集合 $S$,它有一个子集 $T$,那么记 $ < T > $ 是 $T$ 中所有元素彼此任意进行运算的结果的集合,称为由子集 $T$ 通过给定运算生成的子集.

定义 2 

   给定整环 $R$,记 $R$ 中没有乘法逆元的元素构成的集合为 $S$,对任意 $s\in S$,定义新元素 $s^{-1}$,其运算规则由 $s\cdot s^{-1}=e$ 决定2.把所有这样的元素 $s^{-1}$ 构成的集合记为 $S'$,那么 $R\cup S'$ 通过加法和乘法生成的集合 $ < R\cup S' > $,就是 $R$ 的分式域(fraction field)3

1. 分式域的唯一性

定理 1 

   给定环 $R$,则其分式域是唯一的.

   证明

   设 $R$ 有两个分式域 $\mathbb{F}_1$ 和 $\mathbb{F}_2$.定义映射 $\sigma:\mathbb{F}_1\to\mathbb{F}_2$ 如下:

   $\forall r\in R, \sigma(r)=r, \sigma(r^{-1})=r^{-1}$.对于其它元素 $a, b$,则用 $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$,且 $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$ 来定义.

   由定义,容易验证 $\sigma$ 是一个双射的域同态,即同构.

   证毕


1. ^ 本小节节选自《小时百科教材系列》的《代数学》.
2. ^ 为了理解为什么这条式子可以决定这个新元素的运算规则,参考例子,思考一下如何从这条式子得出 $s^{-1}$ 与已有元素的加法
3. ^ 这里通过加法和乘法生成的集合一定包含 $R$,通常不是 $R$ 的子集.这和上一条定义略有不同,但是我想并不会造成理解困难.

                     

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