整环

                     

贡献者： JierPeter; addis

  • 不应需要环同态作为预备
预备知识　环同态

　　 我们常见的整数环属于一类性质极为良好的环，我们称这个分类为 “无零因子交换幺环”，或者 “整环”。注意区分 “整数环” 和 “整环” 这两个相似的术语，前者特指整数构成的环，后者则指一类环。

定义 1　零因子

　　 在环 $R$ 中，如果有两个非零的元素 $a, b$ 使得 $ab=0$，那么我们称 $a$ 是一个左零因子，而 $b$ 是一个右零因子。如果某元素即使左零因子又是右零因子，那么我们称它是一个零因子（zero divisor）。

　　 简单来说，零因子就是 “相乘得到零的非零元素”，其名称的含义就是 “零的因子”。整数环里不存在零因子，但是这个概念也不难理解：考虑环 $\mathbb{Z}_{12}$，在这个环里，$3\not=0$，$4\not=0$，但是 $3\times 4=12=0$。

定义 2　整环

　　 对于环 $R$，如果它的乘法交换并且没有零因子，那么我们称这个环是一个整环（domain）。

　　 整环的概念可以记为 “无零因子交换幺环”，用以指代它的三个关键特点：“无零因子”、“交换” 和 “有乘法单位元”。最后一个特点在本章的语境下显得冗余，因为我们限定环都是含有乘法单位元的；强调幺环只是为了避免使用其它术语体系时可能的混淆。

例 1　整环的例子

  • 整数环
  • 多项式环
  • 高斯整数环 $\mathbb{Z}[ \mathrm{i} ]$

1. 常用概念

　　 接下来是一系列非常有用的概念，也是后续的进阶文章的基础。

定义 3　因子和整除性

　　 在整环 $R$ 中，如果对于 $a, b\in R$，存在 $r\in R$ 使得 $b=ar$，那么我们称 $a$ 整除 $b$，记为 $a|b$，同时称 $a$ 是 $b$ 的一个因子（factor）或除数（divisor）。

定义 4　单位

　　 对于整环 $R$，如果 $u\in R$ 有乘法逆元$u^{-1}\in R$，那么称 $u$ 是 $R$ 的一个单位（unit）。

定义 5　真因子

　　 在整环 $R$ 中，如果对于 $a, b\in R$，存在 $r\in R$ 使得 $b=ar$，并且 $r$ 不是一个单位，那么称 $a$ 是 $b$ 的一个真因子（proper factor）。

　　 真因子的特点是单向性，如果 $a$ 是 $b$ 的一个真因子，那么绝不可能出现 $b|a$，因为真因子的定义中要求 $b=ar$ 中的 $r$ 是乘法不可逆的。从因子分解的角度，我们可以定义如下等价关系：如果两个元素 $a, b\in R$ 之间只差一个单位因子，即存在单位 $u$ 使得 $a=bu$，那么我们可以把 $a$ 和 $b$ 等价起来。检查一下，如此定义的关系满足等价关系的三个公理，因此是一个等价关系。作为一个例子，整数环中的单位只有两个，$1$ 和 $-1$，因此这个等价关系应用到整数环中就是把所有 $n$ 和其对应的 $-n$ 等价起来。在讨论因子分解时，我们常常使用这个等价划分。

　　 接下来介绍的两个概念，素元素和不可约元素，都是整数中素数概念的推广，只不过选用了素数的不同特点。

定义 6　素元素

　　 对于整环中的元素 $p\in R$，如果它满足 “如果任何 $a, b\in R$ 使得 $p|ab$，则必有 $p|a$ 或者 $p|a$”，则称它为 $R$ 的一个素元素（prime element）。

定义 7　不可约元素

　　 对于整环中不是幺元的元素 $p\in R$，如果它在 $R$ 中没有真因子，那么称它为一个不可约元素（irreducible element）。

　　 对于一般的整环，素元素必然是不可约元素：

定理 1　素元素必是不可约元素

　　 给定整环 $R$ 和其素元素 $p$，则 $p$ 必然是不可约元素。

　　 证明：

　　 反设 $p$ 可约，则存在 $p$ 的两个真因子 $a, b$ 使得 $p=ab$，从而 $p|ab$。由素元素的定义必须有 $p|a$ 或 $p|b$，而这和 “真因子” 的单向性矛盾。故设定不成立，即 $p$ 不可约。

　　 证毕。

                     

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