费米黄金法则

贡献者： addis

预备知识　几种含时微扰

　　¹使用含时微扰法，方形脉冲的跃迁率为

\begin{matrix} (1) & \frac{d P}{d t} = \frac{2 π}{ℏ} {| W_{f i} |}^{2} ρ (E_{f}) . \end{matrix}

若加上简谐调制，则需要除以 4 得到每个方向的跃迁概率。这叫做费米黄金法则（Fermi's Golden rule）。

　　其中 $ρ$ 是能级密度。若末态处于连续态 $| k ⟩$ 中（例如平面波或库仑平面波），归一化条件 $⟨ k^{'} | k ⟩ = δ (k - k^{'})$ ，那么

\begin{matrix} (2) & ρ (E_{f}) = \frac{4 π k_{f}^{2} d k_{f}}{d E_{f}} = \frac{4 π m k_{f}}{ℏ^{2}} = \frac{4 π m}{ℏ^{2}} \sqrt{2 m E_{f}} . \end{matrix}

未完成：使用氢原子的光电离的例子来验证。

1. 方形脉冲

　　方形脉冲（式 8 ）

\begin{matrix} (3) & {| c_{i} (t) |}^{2} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{ℏ^{2}} Δ t^{2} {sinc}^{2} [ω_{f i} Δ t / 2] . \end{matrix}

当

Δ t

变大的时候，

{sinc}^{2}

函数趋近于

δ

函数（式 4 ）。

\begin{matrix} (4) & {sinc}^{2} [(ω_{f i} \mp ω) Δ t / 2] \to \frac{2 π ℏ}{Δ t} δ (E_{f} - E_{i} \mp ω ℏ) . \end{matrix}

E_{i} = E_{f}

附近的态能量密度为

ρ (E_{f})

，那么总跃迁概率约等于

\begin{matrix} (5) & Δ P = ρ (E_{f}) \int_{- ϵ}^{ϵ} {| c_{i} (t) |}^{2} d E_{f} = \frac{2 π}{ℏ} {| W_{f i} |}^{2} ρ (E_{f}) Δ t . \end{matrix}

跃迁率（transition rate），即单位时间的概率为

\begin{matrix} (6) & \frac{d P}{d t} = \frac{2 π}{ℏ} {| W_{f i} |}^{2} ρ (E_{f}) . \end{matrix}

　　方形脉冲中的简谐微扰（式 14 ）

\begin{matrix} (7) & {| c_{i} (t) |}^{2} = \frac{{| W_{f i} |}^{2}}{4 ℏ^{2}} Δ t^{2} {{sinc}^{2} [(ω_{f i} - ω) Δ t / 2] + {sinc}^{2} [(ω_{f i} + ω) Δ t / 2]} . \end{matrix}

　　若 $E_{f 0} = E_{i} \pm ω ℏ$ 附近的态能量密度为 $ρ (E_{f 0})$ ，那么总跃迁概率约等于

\begin{matrix} (8) & Δ P = ρ (E_{f 0}) \int_{E_{f 0} - ϵ}^{E_{f 0} + ϵ} {| c_{i} (t) |}^{2} d E_{f} = \frac{π}{2 ℏ} {| W_{f i} |}^{2} ρ (E_{f 0}) Δ t, \end{matrix}

每个方向的跃迁率为

\begin{matrix} (9) & \frac{d P}{d t} = \frac{π}{2 ℏ} {| W_{f i} |}^{2} ρ (E_{f}) . \end{matrix}

1. ^ 参考 [1] 以及 Wikipedia 相关页面。

[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed