贡献者： addis
1使用含时微扰法，方形脉冲的跃迁率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2\pi}{\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_f)~.
\end{equation}
若加上简谐调制，则需要除以 4 得到每个方向的跃迁概率。这叫做
费米黄金法则（Fermi's Golden rule）。
其中 $\rho$ 是能级密度。若末态处于连续态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 中（例如平面波或库仑平面波），归一化条件 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ')$，那么
\begin{equation}
\rho(E_f) = \frac{4\pi k_f^2 \,\mathrm{d}{k_f} }{ \,\mathrm{d}{E_f} } = \frac{4\pi m k_f}{\hbar^2} = \frac{4\pi m}{\hbar^2}\sqrt{2mE_f}~.
\end{equation}
未完成：使用氢原子的光电离的例子来验证。
1. 方形脉冲
方形脉冲（式 8 ）
\begin{equation}
\left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{\hbar^2} \Delta t^2 \operatorname{sinc} ^2[\omega_{fi}\Delta t/2]~.
\end{equation}
当 $\Delta t$ 变大的时候，$ \operatorname{sinc} ^2$ 函数趋近于 $\delta$ 函数（
式 4 ）。
\begin{equation}
\operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}\mp\omega)\Delta t/2] \to \frac{2\pi\hbar}{\Delta t}\delta(E_f - E_i \mp \omega\hbar)~.
\end{equation}
$E_i=E_f$ 附近的态能量密度为 $\rho(E_f)$，那么总跃迁概率约等于
\begin{equation}
\Delta P = \rho(E_f)\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{E_f}
= \frac{2\pi}{\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_f)\Delta t~.
\end{equation}
，即单位时间的概率为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2\pi}{\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_f)~.
\end{equation}
2. 方形脉冲中的简谐微扰
方形脉冲中的简谐微扰（式 14 ）
\begin{equation}
\left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{4\hbar^2} \Delta t^2 \{ \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}-\omega)\Delta t/2] + \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}+\omega)\Delta t/2]\}~.
\end{equation}
若 $E_{f0} = E_i \pm \omega\hbar$ 附近的态能量密度为 $\rho(E_{f0})$，那么总跃迁概率约等于
\begin{equation}
\Delta P = \rho(E_{f0})\int_{E_{f0}-\epsilon}^{E_{f0}+\epsilon} \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{E_f}
= \frac{\pi}{2\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_{f0})\Delta t~,
\end{equation}
每个方向的跃迁率为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\pi}{2\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_{f})~.
\end{equation}
1. ^ 参考 [1] 以及 Wikipedia 相关页面。
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed