实数中的开集和闭集
贡献者： 3sanha0
- 本文处于草稿阶段。
- 本文存在未完成的内容。
- 本文需要更多讲解，便于帮助理解。
- 与实数集的拓扑重复了
从实数理论中我们可以知道，有理数集和实数集都是域，同时他们都是良序的。以三个集合的描绘角度来说，它们的代数结构，序结构都是一致的，而第三个拓扑结构才是这两个集合的真正不同之处。我们要在一个足够普遍的空间上进行，但是我的能力有限，不能揭示出其中朴素的思想。总而言之，我们只需要一个有距离的空间——度量空间上去讨论。
利用度量空间上的距离函数，我们可以定义有界集。
定义 1 有界集
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集，如果 $\exists{p}\in{X}$ 使得 $\exists{M}\in{\mathbb{R}}$，$\forall{q}\in{E}$，总是满足
\[d(p,q)< M~,\]
则称 $E$ 是 $X$ 上的有界集。
注意：这里的有界的概念是度量空间的子集中的概念，和有序域中的的上下界以及上下确界是不同的。很快我们会发现它们之间的联系。
定义 2 邻域
在度量空间 $X$ 中，$p$ 是 $X$ 上的一个点，围绕 $p$ 的满足 $d(p,q)< r$ 的点的集合，称为 $p$ 的半径为 $r$ 的邻域记作 $N_r(p)$
\begin{equation}
N_r(p):=\{q|q\in{X},d(p,q)< r\}~.
\end{equation}
定义 3 极限点
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，$p\in{X}$ 是 $X$ 上一个点。当只要 $r$ 大于零时，总有{\heiti 去心邻域}$\hat{N_r}(p)\cap{E}\not=\varnothing$，则称 $p$ 点为 $E$ 上的一个{\heiti 极限点}。
\begin{equation}
\forall{r>0},\hat{N_r}(p)\cap{E}\not=\varnothing~.
\end{equation}
定义 4 内点
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，$p\in{E}$ 是 $E$ 上一个点。总是存在大于零的 $r$，使得点 $p$ 的邻域 $N_r(p)\subset{E}$，则称 $p$ 点为 $E$ 上的一个{\heiti 内点}。
\begin{equation}
\exists{r>0},N_r(p)\subset{E}~.
\end{equation}
定义 5 闭集
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，$E$ 中所有的极限点都是 $E$ 的元素，那么这样的集合称为闭集。
\begin{equation}
\forall{p\in{E}},\forall{r>0},\text{使得}\hat{N}_r(p)\cap{E}\not=\varnothing~.
\end{equation}
定义 6 开集
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集，$E$ 中所有的点都是 $E$ 的内点，那么这样的集合称为开集。
\begin{equation}
\forall{p\in{E}},\exists{r>0},\text{使得}N_r(p)\subset{E}~.
\end{equation}
定理 1 开集的补集是闭集
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集，如果 $E$ 是开集，则 $E^C$ 是一个闭集。
推论 1 闭集的补集是开集
设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集，如果 $E$ 是闭集，则 $E^C$ 是一个开集。
证明:
- 开集的补集是闭集
设 $E$ 是开集，所以 $E$ 中的点满足
\begin{equation}
\forall{p\in{E}},\text{都}\exists{r}>0\text{使得}N_r(p)\subset{E}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\forall{r}>0,\text{使得}\hat{N}_r(x)\cap{E^C}\not=\varnothing~,
\end{equation}
- 闭集的补集是开集
设 $E$ 是闭集，所以 $E$ 包含所有 $E$ 中的极限点。即，$E^C$ 不包含 $E$ 的极限点。所以，$E^C$ 中的每个点都满足
\begin{equation}
\forall{p}\in{E^C},\exists{r>0},\text{使得}N_r(p)\cap{E}=\varnothing~.
\end{equation}
定理 2 开集的无限并也是开集
设 ${K_i}$ 是一族开集，则
\begin{equation}
\forall{i}\in{I},K_i\text{是开集}\Rightarrow{\bigcup_{I}K_i\text{是开集}}~.
\end{equation}
证明
定义 7 完备集
定义 8 闭包
定义 9 相对开集