初等矩阵与初等变化
贡献者： ACertainUser; addis
1
1. 初等变换 Elementary Operations
初等变换包括三种类型，以下分别举例说明：
- 交换两行（列）
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
- 一行（列）扩大非零常数倍数
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
ca_{21} & ca_{22} & ca_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
- 一行（列）加上另一行（列）的常数倍数
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21}+ca_{31} & a_{21}+ca_{32} & a_{21}+ca_{33}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
2. 初等矩阵 Elementary Matrices
初等矩阵是单位矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 只经一次初等变化得到的矩阵，也包括三种类型，常记作 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $。以下分别举例说明。
表1：初等矩阵
|
种类 | 效果 | 形式 | 逆矩阵 | 行列式
|
|
1 | 交换两行（列） |
交换第 2，3 行
$
\boldsymbol{\mathbf{E}} _1=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
$
|
$
\boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1}= \boldsymbol{\mathbf{E}} _1=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
$
| $\det ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1) = -1$
|
|
2 | 一行（列）扩大非零常数倍数 |
第 2 行扩大 c 倍
$
\boldsymbol{\mathbf{E}} _2= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & c & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
$
|
$
\boldsymbol{\mathbf{E}} _2^{-1}= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{c} & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
$
|
$\det ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _2) = c$
|
|
3 | 一行（列）加上另一行（列）的常数倍数 |
第 2 行加上第 3 行的 c 倍
$
\boldsymbol{\mathbf{E}} _3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & c\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
$
|
$
\boldsymbol{\mathbf{E}} _3^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -c\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
$
| $\det ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _3) = 1$
|
初等矩阵的逆矩阵仍是原类型的初等矩阵。
3. 初等变化与初等矩阵
定理 1
对矩阵进行一次初等行操作⇔相应的初等矩阵 E*矩阵（左乘）
对矩阵进行一次初等列操作⇔矩阵*相应的初等矩阵 E（右乘）
例 1
例如
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
运用初等变换的性质，可以很容易地理解一些结论。
例 2
例如行列式的性质的定理 3 “将行列式的两列交换，结果取相反数”：交换两列，相当于对相应矩阵做一次初等列变换。那么自然有，
$$\det ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{E}} _1)=\det ( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \det( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1)=-\det ( \boldsymbol{\mathbf{A}} )~.$$
例 3
如何理解初等矩阵的逆矩阵？
以 “交换第 2，3 行” 的初等矩阵为例。根据逆矩阵的定义，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1} \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 = \boldsymbol{\mathbf{I}} $。既然 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$ 的效果是"交换第 2，3 行"，那么左乘的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1}$ 的效果也应该是再次"交换第 2，3 行"，才可使矩阵恢复 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $。所以，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} _1^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1$
同理可理解剩余两种变换，试着自己给出说明。
4. 行等价 Row Equivalent
定义 1 行等价
若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 经过有限次初等行变换即可得到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $，则称 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 行等价。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} = ... \boldsymbol{\mathbf{E}} _3 \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
可以证明，所有可逆矩阵都行等价于单位矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $。
可以用该思路来理解 高斯消元法求逆矩阵。
1. ^ 本文参考了 Steven J. Leon 的 Linear Algebra with Applications 与 MIT 的《线性代数》课程。