高斯消元法求逆矩阵

贡献者： addis

预备知识　高斯消元法解线性方程组，逆矩阵

　　对可逆矩阵 $M$ 做行变换相当于左乘一个矩阵 $R$ 。假设某种行变换能使 $M$ 变为单位矩阵，即

\begin{matrix} (1) & R M = I . \end{matrix}

那么根据定义

R

就是

M

的逆矩阵即

R = M^{- 1}

。利用这个性质，我们可以同时对

M

和

I

做相同的行变换，当

M

变为单位矩阵后，

I

就变为

M^{- 1}

：

\begin{matrix} (2) & R M = I, R I = M^{- 1} . \end{matrix}

注意

M

可逆当且仅当它是一个满秩矩阵，即每行都线性无关的方阵。

　　求矩阵 $M = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 9 \end{matrix})$ 的逆矩阵。

　　解：先并列写出 $M$ 和单位矩阵 $I$ ，以下所有行变换都对两个矩阵同时进行

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 9 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

第一行乘

- 2

加到第二行得

\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

第二行乘

- 4

加到第一行得

\begin{matrix} (5) & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 9 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) ‘ . \end{matrix}

所以

M^{- 1} = (\begin{matrix} 9 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{matrix})

。

　　同理，我们也可以把上文中所有行变换改为列变换，列变换相当于把矩阵 $M$ 右乘一个矩阵 $C$ ：

\begin{matrix} (6) & M C = I, I C = M^{- 1} . \end{matrix}

　　用列变换的方法求例 1 中的逆矩阵。