狄利克雷卷积（数论）
贡献者： int256
定义 1 Dirichlet 卷积（数论卷积）
定义两个数论函数 $f(n)$, $g(n)$ 的狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution） 为 $h(n)$ 如下，
\begin{equation}
h(n) = f(n) * g(n) = \sum_{d|n}\left(f(d) g(n/d)\right) ~.
\end{equation}
Dirichlet 卷积又被称为数论卷积。
根据定义，还可将 $h(n) = f(n) * g(n)$ 表示为，
\begin{equation}
h(n) = \sum_{uv = n} (f(u) g(v)) ~.
\end{equation}
1. Dirichlet 卷积的性质
- 结合律：$(f*g)*h = f*(g*h)$。
- 交换律：$f*g = g*f$。
- 分配律：$(f+g)*h = f*h + g*h$。
- 单位元是单位函数 $\varepsilon(n)$，满足对于任意数论函数 $f(n)$，$f(n)*\varepsilon(n) = f(n)$。单位函数的定义为 $\varepsilon(1)=1$，其余情况 $\varepsilon(n) = 0$。
- 若 $f(n)$, $g(n)$ 都是积性的，则 $h = f*g$ 也是积性的。