狄利克雷卷积(数论)

                     

贡献者: int256

预备知识 数论函数

定义 1 Dirichlet 卷积(数论卷积)

   定义两个数论函数 f(n), g(n)狄利克雷卷积(Dirichlet Convolution)h(n) 如下,

(1)h(n)=f(n)g(n)=d|n(f(d)g(n/d)) .
Dirichlet 卷积又被称为数论卷积。

   根据定义,还可将 h(n)=f(n)g(n) 表示为,

(2)h(n)=uv=n(f(u)g(v)) .

1. Dirichlet 卷积的性质

  1. 结合律:(fg)h=f(gh)
  2. 交换律:fg=gf
  3. 分配律:(f+g)h=fh+gh
  4. 单位元是单位函数 ε(n),满足对于任意数论函数 f(n)f(n)ε(n)=f(n)。单位函数的定义为 ε(1)=1,其余情况 ε(n)=0
  5. f(n), g(n) 都是积性的,则 h=fg 也是积性的。

                     

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