积性函数

贡献者： hfb25

预备知识　数论函数

　　每当我们提出一个概念，我们都需要考察它的性质，对可能的例子进行分类。数论函数中有着很重要的两大类——积性函数和加性函数。最基本的数论函数基本都可以归为这两类。由于积性函数和加性函数之间存在着简单的转化关系，而积性函数更方便我们处理，因此积性函数相比下要重要得多。

　　什么是积性函数？先从一个比较自然的例子开始。

　　我们很容易算出除数函数 $d (n)$ 当 $n$ 从 $1$ 到 $20$ 的值，分别是 1,2,2,3,1,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6.

　　可以发现这些恒等式：

\begin{matrix} (1) & d (6) = d (2) d (3), d (12) = d (3) d (4), d (17) = d (1) d (17), \dots \end{matrix}

　　你可能会猜测

\begin{matrix} (2) & d (x y) = d (x) d (y), \end{matrix}

　　但是：

\begin{matrix} (3) & d (4) \neq d (2) d (2), d (12) \neq d (2) d (6), \dots \end{matrix}

　　实际上，上面的猜测中 $x, y$ 互素时才成立。这可以通过 $d (n)$ 的下列计算式说明：

\begin{matrix} (4) & d (n) = \prod_{p^{α_{p}} ‖ n} (1 + α_{p}) . \end{matrix}

　　其中 $p^{k_{p}} ‖ n$ 表示 $n$ 的质因数分解中 $p$ 的指标为 $k_{p}$ 。该式可由唯一分解和乘法原理很快得到。

　　于是，我们抽象出下列定义：

　　如果数论函数 $f (n)$ 使

\begin{matrix} (5) & f (a b) = f (a) f (b), (a, b) = 1 . \end{matrix}

恒成立，则称

f (n)

是积性的。

　　 $I (n), u (n), e (n), d (n), σ (n), μ (n), φ (n), λ (n)$ 都是积性的。

　　当然不要求互素的也有：

　　如果数论函数 $f (n)$ 使

\begin{matrix} (6) & f (a b) = f (a) f (b) . \end{matrix}

恒成立，则称

f (n)

是完全积性的。

　　 $I (n), u (n), e (n), λ (n)$ 都是完全积性的。

　　 $f (n)$ 是积性的,则：

　　证明留给读者。这里需要指出的是，第三条性质表明，积性函数的Möbius 变换也是积性的。