贡献者： 零穹
1本节介绍组合学里两个一般性的原则——加法原则和乘法原则。
以下假设 $A$ 和 $B$ 是两类不同、互不关联的事件。
1. 加法原则
加法原则：设事件 $A$ 有 $m$ 种选取方式，事件 $B$ 有 $n$ 种选取方式，则选 $A$ 或 $B$ 共有 $m+n$ 种方式。
用集合的语言可将加法原则描述成如下定理（定理 4 ）：
定理 1
设 $A,B$ 为有限集，且 $A\cap B=\emptyset$，则
\begin{equation}
\left\lvert A\cup B \right\rvert = \left\lvert A \right\rvert + \left\lvert B \right\rvert ~.
\end{equation}
推论 1
设 $n$ 个有限集合 $A_1,\cdots,A_n$ 满足
\begin{equation}
A_i\cap A_j=\emptyset,1\leq i\neq j\leq n~,
\end{equation}
则
\begin{equation}
\left\lvert \bigcup_{i=1}^n A_i \right\rvert =\sum_{i=1}^n \left\lvert A_i \right\rvert ~.
\end{equation}
2. 乘法原则
乘法原则：设事件 $A$ 有 $m$ 种选取方式，事件 $B$ 有 $n$ 种选取方式，那么选取 $A$ 以后再选取 $B$ 共有 $m\cdot n$ 种方式。
同样，用集合的语言可将乘法原则描述成如下的定理：
定理 2
设 $A,B$ 为有限集，$ \left\lvert A \right\rvert =m, \left\lvert B \right\rvert =n$，则
\begin{equation}
\left\lvert A\times B \right\rvert = \left\lvert A \right\rvert \times \left\lvert B \right\rvert =m\cdot n~.
\end{equation}
证明：若 $m=0$ 或 $n=0$，则式 4 的两边均为 0，故等式成立。
设 $m>0,n>0$，并且记
\begin{equation}
A=\{a_1,\cdots,a_m\}~,\quad B=\{b_1,\cdots,b_n\}~.
\end{equation}
定义映射
\begin{equation}
\varphi:(a_i,b_j)\rightarrow (i-1)n+j\qquad (1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)~,
\end{equation}
则 $\varphi$ 是 $A\times B$ 到集合 $\{1,2\cdots,mn-1,mn\}$ 上的一一映射（试证明），根据集合基数的定义（
定义 1 ），
式 4 成立。
证毕！
注：乘法原则之所以能用定理 2 描述，是因为在乘法原则的描述中，选取 $A$ 以后再选取 $B$，这意味着 $A$ 与 $B$ 是有顺序的，这便使得选取 $A$ 再选取 $B$ 的方式能用笛卡尔积 $A\times B$（子节 2 ）来描述（即二者一一对应）。比如：选取 $A$ 得到 $a_i$，再选取 $B$ 得到 $b_j$ 这样一种选取，可记为 $(a_i,b_j)$；或将 $(a_i,b_j)$ 理解为选取 $A$ 得到 $a_i$，再选取 $B$ 得到 $b_j$ 这样一种选取。
推论 2
设 $A_1,\cdots,A_n$ 为 $n$ 个有限集合，则
\begin{equation}
\left\lvert A_1\times A_2\cdots A_n \right\rvert = \left\lvert A_1 \right\rvert \times \left\lvert A_2 \right\rvert \times\cdots\times \left\lvert A_n \right\rvert ~.
\end{equation}
1. ^ 许胤龙，孙淑玲。组合数学引论（第二版）,中国科学技术大学出版社.2010.