贡献者： JierPeter
切线的几何描述并不严谨和完整，初学者可能会有很多疑问，比如割线的两个点靠近切点的时候，如果其中一个点到切点的距离始终是另一个点到切点距离的两倍，那它们还算同时达到切点吗？
实际上，在极限中我们强调过，极限的概念并不是简单地等同，而是趋近的性质。用割线去接近切线也是一种极限，不存在 “达到切点” 的情况，只能是越来越接近切点。
和其它类型的极限一样，割线趋近的过程强调 “任意性”。为了方便描述，我们需要把一根切线表示为数字。最直接的办法就是用切线的斜率来表示。
定义 1 斜率
对于用 $f(x)=ax+b$ 描述的直线，定义其斜率为 $a$。
由于我们给定了切点，因此割线接近切线的过程中，肯定也会接近切点，相当于确定了割线的极限是要经过切点的，于是我们只需要考察割线的斜率是不是收敛就行。由于斜率是一个数字，这就使得我们又获得了一个数列，而我们对于数列的极限是很熟悉的了。
定义 2 导数
考虑实函数 $f(x)$，给定实数 $x_0$。对于一对数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$，令 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=x_0$、$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=x_0$，且各 $a_n\not=b_n$1。这样，每一对点 $(a_n, f(a_n))$、$ (b_n, f(b_n))$ 都能唯一确定一条割线，也就确定了割线的斜率 $d_n$。
对于任意的上述数列对 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$，如果其生成的 $d_n$ 都收敛到同一个实数 $A$ 上，那么该实数 $A$ 就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率，也称导数（derivative）。
我们来看几个例子，加深理解。
例 1
考虑函数 $f(x)=2x+1$。容易验证，无论怎么选一对数列，它们生成的割线斜率都是 $2$。因此由定义，$f(x)$ 在任何一个点处的导数值都是 $2$。
例 2
考虑函数 $f(x)=x^2$，尝试计算其在 $x=2$ 处的导数值2。
取数列 $a_n=2+g_n$ 和 $b_n=2+h_n$，其中 $g_n$ 和 $h_n$ 都趋近于 $0$，且各 $g_n\not=h_n$。那么 $a_n$ 和 $b_n$ 所确定的割线就通过点 $(2+g_n, 4+4g_n+g_n^2)$ 和点 $(2+h_n, 4+4h_n+h_n^2)$，因此割线斜率是
\begin{equation}
\begin{aligned}
d_n&=\frac{4+4g_n+g_n^2-4-4h_n-h_n^2}{g_n-h_n}\\
&=\frac{4(g_n-h_n)+(g_n+h_n)(g_n-h_n)}{g_n-h_n}\\
&=4+g_n+h_n~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于随着 $n$ 的增大，$g_n$ 和 $h_n$ 都趋于零，因此 $d_n$ 趋于 $4$。
又由于我们没有具体约束 $g_n$ 和 $h_n$，使得上述讨论适用于一切可用于构造趋近于给定点割线的数列 $a_n$ 和 $b_n$，因此满足任意性，因此 $f(x)=x^2$ 在 $x=2$ 处的导数值就是 $4$。
习题 1
考虑函数 $f(x)= \left\lvert x \right\rvert $，画出这个函数的图像，并证明其在 $x=0$ 处没有导数。
习题 2
考虑函数 $f(x)=[x]$，定义为 $[x]$ 是小于等于 $x$ 的、最接近 $x$ 的整数。比如，$[\pi]=3$，$[e]=2$，$[4.99]=4$，$[-4.99]=-5$。
画出这个函数的图像，并证明其在横坐标为整数的点处没有导数。
1. 导函数及其计算
我们上面讨论的是对于函数 $f(x)$，在给定点求其导数。但是如果我们把所有点的导数都求出来（“不存在导数” 也是一种结果），那么我们就得到了一个新的函数，就叫做 $f(x)$ 的导函数，记为 $f'(x)$。
如果我们能把导函数的表达式计算出来，那么就可以直接代值去计算各处的导数，没必要挨个像例 2 那样进行一番冗长的运算了。
为了方便计算，我们要先把导数的定义简化成如下形式：
定义 3 导数
考虑实函数 $f(x)$，给定实数 $x_0$。如果对于任意趋近于 $x_0$ 的数列 $x_n$，都有数列 $\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}$ 收敛，且所有这样的数列都收敛于实数 $A$。那么 $A$ 就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数。
换句话说，$f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数是 $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
习题 3 两个定义的等价性
证明定义 2 和定义 3 是等价的。
提示：定义 2 显然是蕴含了定义 3 的，因为前者描述的是 “所有数列对” 的情况，后者则是限定了其中一个数列恒为 $x_0$ 的特殊情况。所以你只需要证明定义 3 蕴含了定义 2 。提示：单独用 $a_n$ 和 $b_n$ 套进定义 3 中 $x_n$ 的位置能得到两条割线，而 $a_n$ 和 $b_n$ 在定义 2 中又构成第三条割线。这三条割线是可以构成一个三角形的。根据定义 3 ，前两条割线的斜率都趋于 $A$，那么作为三角形第三边的第三条割线，其斜率也不得不跟着趋于 $A$，这样就从定义 3 推出定义 2 了。
定义 3 的表述可以理解为，我们在 $(x_0, f(x_0))$ 处出发，改变自变量的取值（正向负向的改变均可），算出由此带来的函数值改变，再计算二者的商。这个改变越接近 $0$，计算出来的商就越接近导数值 $f'(x_0)$。
定义 4 导函数
给定实函数 $f(x)$。如果另一个函数 $f'(x)$ 的取值范围是 $f(x)$ 的全体可求导数的点，且在这些点上 $f'$ 的值就是 $f$ 的导数值，那么我们称 $f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数。
Leibniz 表示法
我们还可以用 Leibniz 的符号，将 $f(x)$ 的导函数 $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 表示成 $\frac{ \,\mathrm{d}{f} (x)}{ \,\mathrm{d}{x} }$。这里，$\mathrm{d}$ 不是一个量，而是一个符号，表示 “取变化量，然后让这个变化量趋于零但不等于零”。$ \,\mathrm{d}{x} $ 的含义就是 $x-x_0$，然后取一个极限过程 $\lim\limits_{x-x_0\to 0}$3。
要注意的是，$ \,\mathrm{d}{f} (x_0)$ 是取决于 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的，即 $ \,\mathrm{d}{f} (x_0)=f(x_0+ \,\mathrm{d}{x} )-f(x_0)$。也就是说，只有 $x$ 是自由变化的，而 $f(x)$ 变化的量是被动的。所以 $ \,\mathrm{d}{f} (x)$ 可能不会跟着 $ \,\mathrm{d}{x} $ 一起趋于零。一个例子就是习题 2 中的符号函数，在 $x=0$ 的地方，$ \,\mathrm{d}{f} (x)$ 的取值只有 $\pm 1$ 两种（别忘了 $ \,\mathrm{d}{x} $ 不等于零），导致 $ \,\mathrm{d}{x} $ 趋于零的过程中，$\frac{ \,\mathrm{d}{f} (x)}{ \,\mathrm{d}{x} }$ 越来越趋近于无穷。
由于 $ \,\mathrm{d}{x} $ 表示的是任意接近 $0$ 的数列，因此，如果两个自变量彼此独立、不相互影响，比如 $x$ 和 $y$，那么 $ \,\mathrm{d}{x} $ 和 $ \,\mathrm{d}{y} $ 的关系是不确定的，$\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 也是无法定义的值。但是如果两个变量之间有关系，比如 $y=f(x)$，那么 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 就是有意义的了。
举个例子。单给出无关的 $x$ 和 $y$，那么可以让 $ \,\mathrm{d}{x} $ 对应 $x_n=1/2^n$，$ \,\mathrm{d}{y} $ 对应 $y_n=1/3^n$，这样 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{2}{3})^n=0$。但是我们也可以让 $ \,\mathrm{d}{x} $ 对应 $x_n=1/2^n$，$ \,\mathrm{d}{y} $ 对应 $y_n=1/2^n$，这样算出来的 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 就是 $1$。到底哪个才是真正的 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 呢？这没法讨论了。但是呢，如果限定了二者之间的关系，比如 $y=x^2$，那么 $ \,\mathrm{d}{y} $ 对应的 $y_n$ 就不能随意取了，必须用 $ \,\mathrm{d}{x} $ 对应的 $x_n$ 结合 $y=x^2$ 计算出来，而且无论怎么取 $x_n$，$\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }$ 在 $x=x_0$ 处的结果都会是 $2x_0$。
为了方便，我们也可以把 $\frac{ \,\mathrm{d}{f} (x)}{ \,\mathrm{d}{x} }$ 表示为 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$。这里，我们将 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }$ 视为一个操作，它把 $f(x)$ 变成其导函数 $f'(x)$。更进一步，我们还可以写出 $f'=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f$。
两个重要的性质
定理 1 导数的线性性
假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个处处可导4的函数，那么 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }(f(x)+g(x))=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)+\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }g(x)$。
证明很简单，留作习题。
定理 2 Leibniz 律
假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个处处可导的函数，那么 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }(f(x)g(x))=f(x)\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }g(x)+g(x)\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)$
证明：
我们从定义 3 出发。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }(f(x)g(x))=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\
=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\\&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\
=&\lim\limits_{h\to 0}f(x+h)\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }g(x)+g(x)\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)\\
=&f(x)\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }g(x)+g(x)\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }f(x)~.
\end{aligned}
\end{equation}
证毕。
有了这两条性质，我们足以计算很多常见函数的导函数了。
例 3 多项式函数
多项式是形如 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ 的函数。为了计算其导函数，我们首先要考虑最简单的多项式，$x^n$。
$f(x)=x$ 的导函数很容易计算，就是处处等于 1。现在，把 $x^2$ 表示为 $f(x)f(x)$，那么根据定理 2 ，其导函数就是 $1\cdot f(x)+1\cdot f(x)=2f(x)=2x$。
一般地，对于正整数 $n$，$x^n$ 的导函数是 $nx^{n-1}$。这可以通过已知 $x^{n-1}$ 的导函数是 $(n-1)x^{n-2}$ 一步步利用定理 2 归纳得到。
结合定理 1 ，即可计算出任意多项式函数的导函数了。
2. 链式法则
1. ^ 这一条是保证总能画出割线，因为两点确定一条直线嘛，$a_n=b_n$ 的话这条割线就画不出来了。
2. ^ $x=2$ 处即点 $(2, 4)$。也可以说 $y=4$ 且 $x>0$ 处，但肯定是 $x=2$ 处的说法更方便。
3. ^ 取极限过程就是指，取一系列这样的 $x$ 构成一个数列 $\{x-x_0\}$，且这个数列趋于 $0$。$\lim\limits_{x-x_0\to 0}$ 等价于 $\lim\limits_{x\to x_0}$。
4. ^ 即每一个点上都有导数。