二次多项式与二次型
贡献者： addis
所有的 $N$ 元二次（齐次）多项式都可以表示为
\begin{equation}
P(x_1,\dots,x_N) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a_{i,j}x_i x_j \qquad (a_{i,j}, x_k \in \mathbb R)~,
\end{equation}
其中 $a_{i,j}$ 是对称矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的矩阵元。这是一个
二次型在某组基底下的对称矩阵表示（$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} $）。由于 $x_i x_j = x_j x_i$，所以规定 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为对称矩阵并不影响一般性，反而可以简化运算。
极值
要求二次多项式的极值，先求驻点：
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{x_i}} P(x_1,\dots,x_N) = 2\sum_j a_{ij} x_j = 0 \qquad (i = 1,\dots,N)~.
\end{equation}
所以这相当于解齐次线性方程组
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
可见它的解集要么是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 一个点，要么是一个
子空间（零空间）。
若矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正定的，那么当 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} > 0$，即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $，可以马上得到只有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 一点是齐次方程组的解，且该点是全局最小值，也是唯一一个极值点。若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是负定的，那么同理 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 就是全局最大值。
1. 非齐次二次多项式的极值
\begin{equation}
P(x_1,\dots,x_N) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a_{i,j}x_i x_j + \sum_{i=1}^N b_i x_i + C~.
\end{equation}
求驻点相当于求解非齐次方程组
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = - \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正定（负定）时，由于矩阵是满秩的，有且仅有一个解，这个点就是最小（最大）值。