贡献者： 零穹; addis; Giacomo
“定积分"里给出了定积分的定义，并且强调了该定义只适用于有解函数的情况。也就是说定积分的存在是有条件的，所以自然而然就出现这样的疑问：是否有一般的办法断定积分是否存在？这就是本文要完成的任务。
1. 达布和
定积分的定义（定义 4 ）中，积分和（黎曼和）的极限要求 $\xi_i$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上的选择是任意的。为简化研究，除积分和外，按照达布（Darboux）的方法，引进一类更为简单的和。
定义 1 达布和
在将区间 $[a,b]$ 插入分点进行划分时，如果在每一部分区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上都选取使得函数 $f(x)$ 在该区间上为最大（最小）的 $x\in[x_i,x_{i+1}]$，则得到的积分和称达布和，或上（下）积分和。
显然，达布和仅仅是给出了 $\xi_i$ 在区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 的两种选择方式：使 $f(x)$ 在该区间上最大或最小。所以它只是某种特殊的积分和。
为方便起见，设
\begin{equation}
\mathcal P = \left\{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \right\} ~,
\end{equation}
是给定的分点序列（或区间 $[a,b]$ 的分划）。用 $m_i,M_i$ 分别代表函数 $f(x)$ 在第 $i$
1个部分区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 的最大与最小值，而下、上积分和记为
\begin{equation}
s= \sum_{k = 1}^n m_k\Delta k~, \qquad S = \sum_{k = 1}^n M_k \Delta_k~.
\end{equation}
显然，$s,S$ 分别是给定分划时积分和中的下确界和上确界(定义 2 )。因为如果数集有最大值和最小值，则最大值和最小值就是数集的上确界和下确界。这个证明很简单，因为上确界是上界中的最小者，而如果数集有最大值 $a$，那么它的上界 $A$ 必须满足 $A\geq a$，由这不等式容易知道，上界中的最小值就是 $a$，同样下确界可以类似证明。
达布和的性质
达布和的两个基本性质可用如下两个定理说明。
定理 1
若在原来分划中加入新的分点，则达布下和只能增大，而达布上和只能减小。
证明：
我们仅讨论下和，上和可类似讨论。只需讨论在任一部分区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 内加入一个新的分点 $x'$ 即可，即
\begin{equation}
x_i< x'< x_{i+1}~
\end{equation}
用 $s'$ 表示新的下和，那么，$s,s'$ 仅在这个区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 有所不同，两者对应于该区间的项分别是
\begin{equation}
m_i(x_{i+1}-x_i)~,\qquad m_{1i}(x'-x_i)+m_{2i}(x_{i+1}-x')~,
\end{equation}
其中 $m_{1i},m_{2i}$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[x_i,x'],[x',x_{i+1}]$ 山的最小值，由于 $m_i$ 是区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上 $f(x)$ 的最小值，所以
\begin{equation}
m_i\leq m_{1i}~,\qquad m_i\leq m_{2i}~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
m_i(x_{i+1}-x_i)&=m_i(x_{i+1}-x')+m_i(x'-x_i)\\
&\leq m_{2i}(x_{i+1}-x')+m_{1i}(x'-x_i)~.
\end{aligned}
\end{equation}
由此推得 $s'>s$。
证毕！
证明：
考虑任意两个分划，设它们的达布和分别为 $s_1,S_1$ 和 $s_2,S_2$。所以定理的证明相当于只需证明 $s_1\leq S_2$。把这两分划的分点合在一起构成新的分划，记其达布和为 $s_3,S_3$。根据定理 1 ，
\begin{equation}
s_1\leq s_3~,\qquad S_3\leq S_2~.
\end{equation}
而 $s_3\leq S_3$，所以 $s_1\leq S_2$。
证毕！
由定理 2 ，下和的整个集合 $\{s\}$ 上有界，上和的整个集合 $\{S\}$ 下有界。由确界定理（定义 3 ），$\{s\},\{S\}$ 分别有有限的上确界和下确界：
\begin{equation}
I_*=\sup \left\{s \right\} ~,\qquad I^*=\inf \left\{S \right\} ~.
\end{equation}
显然 $I_*\leq I^*$。
上述可总结为
\begin{equation}
s\leq I_*\leq I^*\leq S~.
\end{equation}
定义 2 达布积分
称 $I_*,I^*$ 分别为达布下积分和达布上积分。
2. 定积分的存在条件
借助达布和的知识，现在容易得到定积分存在的充要条件了。
定理 3 定积分存在的充要条件
函数 $f(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的区间上定积分存在的充要条件是：其达布上和与下和之差在
\begin{equation}
\lambda=\max \left\{\Delta x_i|i=0,\cdots,n-1 \right\} ~
\end{equation}
趋于 0 时其极限为 0，即
\begin{equation}
\lim_{\lambda\rightarrow0}(S-s)=0~.
\end{equation}
证明：
1.必要性：假定积分为 $I$，于是对任一 $\epsilon>0$，可以找到 $\delta>0$，使得只要 当所有 $\Delta x_i<\delta$，就有
\begin{equation}
\left\lvert \sigma-I \right\rvert <\epsilon\quad or \qquad I-\epsilon<\sigma< I+\epsilon~.
\end{equation}
对应满足该条件的分划，设 $s,S$ 是其达布下和与上和，所以就有
\begin{equation}
I-\epsilon\leq s\leq S\leq I+\epsilon~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\lim_{\lambda\rightarrow0}s=I~,\quad \lim_{\lambda\rightarrow0}S=I~.
\end{equation}
上式等价于
\begin{equation}
\lim_{\lambda\rightarrow0}(S-s)=0~.
\end{equation}
2.充分性：设式 11 成立，那么由 式 9 $I_*=I^*=I$。令 $\sigma$ 为 $s,S$ 对应的区间分划的和，那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
&s\leq I\leq S~,\quad s\leq \sigma\leq S\\
&\Downarrow\\
& \left\lvert \sigma-I \right\rvert \leq \left\lvert S-s \right\rvert ~,\\
&\Downarrow\\
&0\leq\lim_{\lambda\rightarrow0} \left\lvert \sigma-I \right\rvert \leq\lim_{\lambda\rightarrow0} \left\lvert S-s \right\rvert =0~,\\
&\Downarrow\\
&\lim_{\lambda\rightarrow0} \left\lvert \sigma-I \right\rvert =0~,\\
&\Downarrow\\
&\lim_{\lambda\rightarrow0}\sigma=I~.
\end{aligned}
\end{equation}
即定积分存在。
证毕！
定义 3 振幅
函数在某一区间上的最大值与最小值之差称为函数在该区间上的振幅。
那么如果以 $\omega_i$ 表示区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上的振幅，式 11 就等价于
\begin{equation}
\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_i\Delta x_i=0~.
\end{equation}
有了定积分存在的充要条件，我们要证明函数可积（定义 4 ），就只需证明函数满足式 11 或式 17 即可。
1. ^ 从 0 开始计数