单纯形与单纯复形

定义 1　几何无关点集

　　 给定欧几里得空间中 $n$ 个点构成的集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}|_{i=0}^{n-1}$。任取一个 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _k$，我们以它为起点构造出若干向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i= \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _k$，如果集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i\not= k}$ 是一个线性无关向量组，那么我们说 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}|_{i=0}^{n-1}$ 是一个几何无关（geometrically independent）点集。

定义 2　单纯形

　　 给定欧几里得空间中一个几何无关点集 $A=\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i\}$。

　　 记 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$ 为集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} =\sum\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i|\lambda_i\geq 0, \sum\lambda_i=1\}$，称这个集合为由 $A$ 张成的 $q$ 维单纯形（simplex），简称 $q$-单形。

定义 3　标准单纯形

　　 由欧几里得空间中的原点和各坐标轴上的 $1$ 点（即 $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$）构成的单纯形，称为标准单纯形。

定义 4　面

　　 令 $L$ 为单形 $[ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q]$，则对于 $r\leq q$，$L$ 的一个 $r$ 维面就是 $\{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0, \cdots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _q\}$ 的一个 $r$ 阶子集所张成的单形。

定义 5　规则相处

　　 对于两个单形 $A$ 和 $B$，如果 $A\cap B$ 既是 $A$ 的面，也是 $B$ 的面，那么称 $A$ 和 $B$ 是规则相处的。

定义 6　单纯复形

　　 一个（单纯）复形（complex），又称复合形，是一个单纯形的集合，其中各单形规则相处，且每个单形的面也都是该复形的一个元素。

　　 一些作者会把复形定义成单形集合的并集（类似于参数曲线和它的轨迹的关系）。

　　 非空复形的维度是其单形的最大维度（如果存在），或者正无穷（最大维度不存在）；空集（空复形）的维度没有标准的定义，可以认为是负无穷，也可以认为是任意维度，取决于不同的作者。

定义 7　子复形

　　 一个复形 $K$ 的子集 $J$ 如果还是一个复形，那么称 $J$ 是 $K$ 的子复形。

定义 8　骨架

　　 $q$ 维复形 $K$ 的全体维度小于等于$r$ 的单形之集合，称为 $K$ 的 $r$ 维骨架，记为 $K^r$。

定义 9　多面体

　　 给定复形 $K$，则 $\bigcup\limits_{A\in K}A$ 称为 $K$ 的多面体（polyhedron），记为 $ \left\lvert K \right\rvert $。此时称 $K$ 为 $ \left\lvert K \right\rvert $ 的一个三角剖分（triangulation），也称单纯剖分。