协变性和不变性

                     

贡献者： 零穹

　　 [1] 协变性和不变性是相对论中会遇到的术语，本节给出它们具体的定义。

1. 概念的引入

　　 物理定律经常被表达为一个矢量等于另一个矢量，例如，Newton 定律

若换一参考系（重选基底），它和原参考系（或坐标系）由坐标变换相联系。设 $R$ 是这两参考系下矢量的变换矩阵，即若 $\mathbf{x}$ 是旧参考系下表达的矢量，则新参考系下表达的该矢量 ${\mathbf{x}}^{\prime }$ 和旧参考系下的 $\mathbf{x}$ 关系为 ${\mathbf{x}}^{\prime }=R\mathbf{x}$。将 $R$ 作用于 Newton 定律，就有 由于加速度是矢量，因此新参考系下的加速度为 ${\mathbf{a}}^{\prime }=R\mathbf{a}$。假设 $\mathbf{F}$ 像一个矢量一样变换（虽然这里对力使用了矢量相同的符号，但是力的定义并不清晰，因此在不同坐标变换下不一定是一个矢量），那么新坐标下 ${\mathbf{F}}^{\prime }=R\mathbf{F}$。于是在新坐标系下，就有 即两坐标系下的牛顿定理具有相同的形式。应该注意的是，质量是标量的例子，即在坐标变换下不变。如果改变的话，那么 Newton 定律在坐标变换下就不是不变的了，从而导致某个参考系比另一个更可取，这是不可接受的，物理学应当建立在平等的思想上（可视为某种假设）。

　　 Newton 定律是协变的，是指方程的两边在坐标变换下按照同一变换方式变换，即若左边的量 $x$ 在新坐标系下为 $x^{\prime }f(x)$（映射 $f$ 由新旧坐标系确定），那么右边的量 $y$ 在新坐标系下由 $y^{\prime }=f(y)$ 确定。然而，由 Newton 定律表达的物理是不变的，即独立于通过坐标变换联系的参考系。若物理依赖于你如何偏头，那么就相当的麻烦了。物理不应该取决于物理学家，但物理学家具有使用不同方式表达物理的自由。

2. 定义

　　 每一物理学都具有一些最基本的物理定律，对应的物理学是这些基本定律下逻辑推演。物理定律在数学上表达为方程的形式，对应基本物理定律的方程称为基本方程。注意基本定律是那些不依赖于参考系选择的定律，即若基本定律表达的是物理量 $x,y$ 的关系 $y=f(x)$，在任一参考系下测得的物理量 $x,y$ 为 $x_1,y_1$，则恒有 $y_1=f(x_1)$。

　　 值得注意的是 $y=f(x)$ 可写为 $g(x,y):=y-f(x)=0$。因此协变性相当于 $g(R(x),R(y))=0$，即在坐标系变换下，$0$ 不会转变为非 0。

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[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell