贡献者： 零穹
[1] 协变性和不变性是相对论中会遇到的术语，本节给出它们具体的定义。
1. 概念的引入
物理定律经常被表达为一个矢量等于另一个矢量，例如，Newton 定律
\begin{equation}
m \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} .~
\end{equation}
若换一参考系（重选基底），它和原参考系（或坐标系）由坐标变换相联系。设 $R$ 是这两参考系下矢量的变换矩阵，即若 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是旧参考系下表达的矢量，则新参考系下表达的该矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '$ 和旧参考系下的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 关系为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '=R \boldsymbol{\mathbf{x}} $。将 $R$ 作用于 Newton 定律，就有
\begin{equation}
mR \boldsymbol{\mathbf{a}} =R \boldsymbol{\mathbf{F}} .~
\end{equation}
由于加速度是矢量，因此新参考系下的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} '=R \boldsymbol{\mathbf{a}} $。假设 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 像一个矢量一样变换（虽然这里对力使用了矢量相同的符号，但是力的定义并不清晰，因此在不同坐标变换下不一定是一个矢量），那么新坐标下 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} '=R \boldsymbol{\mathbf{F}} $。于是在新坐标系下，就有
\begin{equation}
m \boldsymbol{\mathbf{a}} '= \boldsymbol{\mathbf{F}} '.~
\end{equation}
即两坐标系下的牛顿定理具有相同的形式。应该注意的是，质量是标量的例子，即在坐标变换下不变。如果改变的话，那么 Newton 定律在坐标变换下就不是不变的了，从而导致某个参考系比另一个更可取，这是不可接受的，物理学应当建立在平等的思想上（可视为某种假设）。
Newton 定律是协变的，是指方程的两边在坐标变换下按照同一变换方式变换，即若左边的量 $x$ 在新坐标系下为 $x'f(x)$（映射 $f$ 由新旧坐标系确定），那么右边的量 $y$ 在新坐标系下由 $y'=f(y)$ 确定。然而，由 Newton 定律表达的物理是不变的，即独立于通过坐标变换联系的参考系。若物理依赖于你如何偏头，那么就相当的麻烦了。物理不应该取决于物理学家，但物理学家具有使用不同方式表达物理的自由。
2. 定义
每一物理学都具有一些最基本的物理定律，对应的物理学是这些基本定律下逻辑推演。物理定律在数学上表达为方程的形式，对应基本物理定律的方程称为基本方程。注意基本定律是那些不依赖于参考系选择的定律，即若基本定律表达的是物理量 $x,y$ 的关系 $y=f(x)$，在任一参考系下测得的物理量 $x,y$ 为 $x_1,y_1$，则恒有 $y_1=f(x_1)$。
定义 1 协变性、不变性
设 $x=(x_1,\ldots,x_m),y=(y_1,\ldots,y_n)$ 是某一物理学的基本物理量，
\begin{equation}
y=f(x)~
\end{equation}
是该物理学的基本方程。记 $x_1,y_1$ 是一参考系下对应的物理量 $x,y$ , $x_2,y_2$ 是另一参考系下对应的物理量 $x,y$，设 $R$ 是从前一参考系到后一参考系之间的变换，使得基本方程左边的物理量满足 $y_2=R(y_1)$。若基本方程右边的物理量在两参考系下仍有关系 $x_2=R(x_1)$，即成立
\begin{equation}
y_2=f(x_2),\quad R(f(x_1))=f(R(x_1)).~
\end{equation}
则称基本方程 $y=f(x)$ 是
协变的（covariant），而变换 $R$ 称为（在该物理学下）是
物理对称的 (symmetry of physics)，并称在变换 $R$ 下物理是
不变的（invariant）。
值得注意的是 $y=f(x)$ 可写为 $g(x,y):=y-f(x)=0$。因此协变性相当于 $g(R(x),R(y))=0$，即在坐标系变换下，$0$ 不会转变为非 0。
例 1
若某一物理学的基本方程是关于矢量之间的方程，即具有形式 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $，记 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} $，且坐标系变换是对应矢量空间的线性变换 $R$，那么不变性就恰好表达了明显的数学事实：若 $ \boldsymbol{\mathbf{w}} =0$，则 $R( \boldsymbol{\mathbf{w}} )=0$。（严格来说，这里的 0 应写为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $）。
[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell