抛硬币实验进阶

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本文处于草稿阶段。

预备知识　二项分布，中心极限定理

　　我们都知道一枚公平的硬币，若抛许多次，那么正反的比例大约是 1:1。那么若把某次实验的结果中，前 $n$ 次中正面向上所占的比例记为 $P_n$，那么对任意一次实验，数列 $P_n$ 是否都满足以下极限呢？

\begin{equation} \lim_{n\to\infty} P_n = \frac{1}{2} \qquad (\text{误})~ \end{equation}

这是错误的。根据数列极限的定义，对于任意给定的 $\epsilon > 0$，都存在整数 $N$，当 $n>N$ 时就必有 $ \left\lvert P_n -1/2 \right\rvert < \epsilon$。对于抛硬币而言，这是无法做到的。因为无论抛几次，都存在不为零的概率使全部正面向上或反面向上（概率为 $1/2^n$）。所以只要令 $\epsilon = 0.5$ 或更小，就不可能找到符合条件的 $N$。

　　当抛硬币次数较多时，根据中心极限定理可知正面向上概率的方差为 $1/(4N)$。该分布为二项分布，本质上和高尔顿板原理相同。

N = 60; % 每组投掷
M = 10000; % 实验组数
data = sum(rand(M, N) > 0.5, 2)/N;
format long;
disp('理论方差 =');
disp(1/(4*N));
disp('实验方差 =');
disp(std(data)^2);
hist(data, 20);