计算机算数

贡献者： addis

预备知识　数值计算的误差

　　¹要了解科学计算，首先要知道数据是如何在计算机中存储和表达的。在计算机基础中我们知道，所有的数据在计算机内存中都是以二进制数的形式存储的，但对于不同的数据类型，二进制数所代表的意义也不尽相同。下面我们来看两种最常见的数据类型：整数和浮点数。

1. 整数

　　很自然的，对于一个给定的十进制整数，可以将它转换为二进制数，从而在计算机中表示。下图中的 8 位（8 bits）二进制数 0 1 0 1 1 1 0 1 表示

\begin{equation} (01011101)2=0\cdot2^7+1\cdot2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=(93)_{10}~. \end{equation}

　　从 Python3.0 起，可以表示的整数的最大值上限被移除，这就意味着我们可以精确表示任何整数，也就是说只要将给定的整数转换为二进制数，然后占用相应长度的内存空间即可。理论上 16G 的内存可以存储的最大整数约为 $10^{5.17\times10^9}$ 。

　　另外，由于两个不同整数之间的最小间隔为 1（整数的机器精度），因此，与整数有关的加、减和乘法都可以被精确计算，并且没有任何舍入误差。

例子 1：大整数及其运算

　　 注 1：普通除法运算 / 在 Python 中会默认转换为浮点数，因此并不能保证完全精确。

　　 注 2：整数除法 // 可以保证精确，但是结果只有商，余数可以用 % 求得。

a = 135791113151719
b = 246810
print(f'a={a}, b={b}')
print(f'a+b={a+b}')
print(f'a-b={a-b}')
print(f'axb={a*b}')
print(f'a÷b={a//b}......{a%b}')

输出：

a=135791113151719, b=246810 
a+b=135791113398529 
a-b=135791112904909 
axb=33514604636975766390 
a÷b=550184810......195619

2. 浮点数

　　不同于整数，实数是连续的，这就意味着两个不相同的实数之间的最小距离可以无限接近于 0。前文中对于整数的存储方式显然不再适用，我们并不能把所有实数都在计算机中表示出来。甚至我们都不能把 0 到 1 之间的所有实数表达出来。

　　这就要求计算机对实数运算进行一定的近似，使得给定任意一个实数，我们都能找到一个与它接近的计算机浮点数表达。同时，计算机浮点数系统需要保证运算精度和速度。这就要求计算机浮点数系统需要尽可能满足下面的条件：

每个浮点数占用的内存空间一致。
覆盖的范围尽可能大
舍入误差或机器精度尽可能的小。关于舍入误差，参见 “数值计算的误差”。

　　下面我们会一步一步的设计一个 8 位（8 bits）的浮点数系统，也就是用 8 位的 256 个二进制数字来表达浮点数，并逐步满足上述条件。从而探究一下真正的 IEEE 浮点数标准是如何设计和指定的。

简单的二进制表达浮点数

　　类似二进制以 2 为基的方式，我们也可以用 $1/2$ 为基，那么 8 位二进制数 0 1 0 1 1 1 0 1 就表示

\begin{equation} \begin{aligned} (01011101)_2 &= 0\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}+0\cdot2^{-3}+1\cdot2^{-4}\\ &\quad +1\cdot2^{-5}+1\cdot2^{-6}+0\cdot2^{-7}+1\cdot2^{-8}\\ &= 0.36328125~. \end{aligned} \end{equation}

　　事实上，这个 8 位二进制数和前面整数一章用到的是同一个二进制数，但他们因为数据类型不同，代表的含义也就不同了。

　　由此，我们的 8 位浮点数系统可以表示 256 个在 0 到 $1-\frac{1}{2^8}=0.99609375$ 之间的实数，它们的机器精度为 $\frac{1}{2^8}=0.00390625$。

　　小结：此方法的机器精度是 8 位系统可达到的最小值，但覆盖范围仅为 0 到 1

扩大范围

　　想要表达更大的数，可以从上面的方式出发，将得到的 0 到 1 之间的数都乘以一个固定的值，例如乘以 8。这样，我们的浮点数系统的覆盖范围扩大到了 $0$ 到 $7.96875$。但是这个操作也会将机器精度乘以相应的值，使其下降为了 $\frac{1}{2^5}=0.03125$。

　　小结：等比例的扩大范围会大幅降低机器精度。

标准化

　　延续上面的思路，我们可以用乘以多个不同的倍数的方法来控制所扩大的范围。也就是说，从 8 位二进制中拿出 2 位（下面的例子中用的是最后两位，但也可以是前面两位），用来记录扩大的倍数，而前面的 6 位同之前一样用作表达 0 到 1 之间的实数，这 6 位被称作尾数位（mantissa）。

　　为了进一步扩大范围，取出的 2 位从二进制转化为十进制后，被放在以 2 为基（basis）的指数位置上形成放大的倍数，因此这 2 位在这个系统中被称为指数位（exponent）。

　　如下图，我们继续使用同样的 8 位二进制数，在经过标准化过程后，表达的数为

图 1：请添加图片描述

　　对于我们的 8 位浮点数系统而言，相当于将所有表达在 $0$ 到 $7.875$ 之间浮点数标准化，机器精度随着浮点数增大而等比例增大。即在任意取值情况下，相对的机器精度都保持在 $\frac{1}{2^6}=0.015625$

　　小结：此方法在保持了与上一小节相似的范围的同时，将机器精度提升了一倍。但是，我们注意到，这个方法有一个严重的问题在于重复，例如 01011101 和 10111000 都表示了同一个数。

去掉重复

　　去掉重复数字的方法很巧妙，这个方法并不改变上一小节中的标准化方式，只是在对尾数位求和过程中加上一个常数 1，即

\begin{equation} \begin{aligned} (01011101)_2 &=({\color{red}{1}}+0\cdot2^{-1}+1\cdot2^{-2}+0\cdot2^{-3}+1\cdot2^{-4}+1\cdot2^{-5}+1\cdot2^{-6})\times2^1\\ &= 2.71875~. \end{aligned} \end{equation}

　　使用这种改进方法，我们可以表达 1 至 15.875 之间的 256 个不同的实数，我们把这些浮点数画在数轴上，如下图

图 2：数轴上的浮点数

　　可以发现，这样表达的浮点数保持了各处一致的相对机器精度，这个相对值约为 $2^{-6}\approx 0.015625$。

　　注：数轴上小于 1 的范围称为下溢（underflow），而超过 15.875 的范围称为上溢（overflow）。

3. IEEE 浮点数标准

　　现在的计算机系统采用的是 IEEE 浮点数标准。每一个浮点数（Python 中的 float 类型）占用 64 位。如下图所示，其中第 1 位为符号位，下面 11 位为指数位，最后 52 位为尾数位（mantissa）。

图 3：IEEE 浮点数标准

　　可知 $f= {i}/{2^{52}}$，$i=0,1,2,...,2^{52}-1$。指数位 $e$ 的标准范围定为 $-1022\le e\le 1023$ ，把 $e=1024$ 作为特殊位，并把 $e=-1023$ 作为保留位（我们放在最后分析）。

　　由此，我们可以求得：

机器精度 eps 为 $\frac{1}{2^{52}}\approx 2.220446049250313\times10^{-16}$。
最小的正浮点数 realmin 为 $2^{-1022}\approx2.2251\times10^{-308}$ ，在 python 中可以通过 numpy.finfo(float).tiny 获得。
最大的浮点数 realmax 为 $(2-2^{-52})\times2^{1023}\approx1.7977\times10^{308}$ ，在 python 中可以通过 numpy.finfo(float).max 获得。
令 $e=1024$ 和 $f=0$ ，表示无穷大 $\infty$ ，即任何大于 realmax 的数，在 python 中可以通过 numpy.inf 得到。
令 $e=1024$ 且 $f\neq0$ ，则表示这不是一个数（NaN，Not a Number）。通常出作为 0/0 或者 numpy.inf-numpy.inf 的结果。我们也可以通过 numpy.nan 表达它。

例子 2：numpy 中查看浮点数标准

print(f'minimal positive normal float: {np.finfo(float).tiny}')
print(f'maximal float: {np.finfo(float).max}')
print(f'machine epsilon: {np.finfo(float).eps}')
print(f'infinity: {np.inf}')
print(f'not a number: {np.nan}')

　　输出

minimal positive normal float: 2.2250738585072014e-308 
maximal float: 1.7976931348623157e+308 
machine epsilon: 2.220446049250313e-16 
infinity: inf 
not a number: nan

亚标准（subnormal）

　　在很多计算系统中，除了上面的标准浮点数以外，还存在着亚标准浮点数（subnormal floating point numbers）。

　　它们是比最小的标准浮点数 realmin（ $2.2251\times10^{-308}$ ）还要小的正实数。

　　我们先来看一下下面这个例子：

import numpy as np

realmin = np.finfo(float).tiny
for i in range(17):
    print(f'realmin x 10^{-(i+1)} = {realmin*(10**(-i-1))}')

　　输出

realmin x 10^-1 = 2.225073858507203e-309
realmin x 10^-2 = 2.2250738585072e-310
realmin x 10^-3 = 2.225073858507e-311
realmin x 10^-4 = 2.225073858507e-312
realmin x 10^-5 = 2.2250738585e-313
realmin x 10^-6 = 2.2250738583e-314
realmin x 10^-7 = 2.22507386e-315
realmin x 10^-8 = 2.22507384e-316
realmin x 10^-9 = 2.225074e-317
realmin x 10^-10 = 2.225074e-318
realmin x 10^-11 = 2.22507e-319
realmin x 10^-12 = 2.2253e-320
realmin x 10^-13 = 2.223e-321
realmin x 10^-14 = 2.2e-322
realmin x 10^-15 = 2.5e-323
realmin x 10^-16 = 0.0
realmin x 10^-17 = 0.0

　　可以看到

我们能够表示比最小标准数 realmin 更小的一些正实数；
它们的精度随着我们远离 realmin 而降低；
最终，当这个数与 realmin 的比小于约 $10^{-16}$ 时，它变成了 0。

　　这是因为，我们是用保留位 $e=-1023$ 来表示这类亚标准浮点数，它们范围为 realmin $\times$ eps 到 realmin（eps 为机器精度）。也就是说，我们能表示的最最小的正实数为 $2^{-(1022+52)}\approx 0.494\times10^{-323}$ ，但这个数的精度非常低。

　　注：这里尽管 $e=-1023$ ，但我们并不是用标准浮点数的转换规则进行运算的，同时在尾数前面加的 1 也并没有在这出现。

1. ^ 本文经作者同意转载自知乎专栏《科学计算》，格式有少量修改。