电容的串联和并联

贡献者： addis; 零穹

预备知识　电容

图 1：电容并联（左）和串联（右）

　　 $n$ 个电容并联和串联公式分别为

\begin{matrix} (1) & C = \sum_{i = 1}^{n} C_{i}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{C} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{C_{i}}, \end{matrix}

特殊地，

n = 2

时并联公式可变形为

\begin{matrix} (3) & C = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

1. 电容的并联

　　如图 1 左边为两电容器的并联，由于并联电压相等

\begin{matrix} (4) & U_{1} = U_{2} = U . \end{matrix}

　　由电容的定义式 1 知道

\begin{matrix} (5) & \begin{array}{r} Q_{1} = C_{1} U, \\ Q_{2} = C_{2} U . \end{array} \end{matrix}

所以，两电容器并联后总电容为

\begin{matrix} (6) & C = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{U} = \frac{Q_{1}}{U} + \frac{Q_{2}}{U} = C_{1} + C_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & C = C_{1} + C_{2} . \end{matrix}

　　对于 $n$ 个电容器的并联，可采取同样的证明方法，结果有

\begin{matrix} (8) & C = \sum_{i = 1}^{n} C_{i} . \end{matrix}

上式也可以用数学归纳法证明。

2. 电容的串联

　　如图 1 右边为两电容器的串联。对于串联，两电容器电荷量 $Q$ 相等

\begin{matrix} (9) & Q_{1} = Q_{2} = Q . \end{matrix}

　　由电容的定义式 1 知道

\begin{matrix} (10) & \begin{array}{r} U_{1} = \frac{Q}{C_{1}}, \\ U_{2} = \frac{Q}{C_{2}} . \end{array} \end{matrix}

所以，两电容器串联后总电容为

\begin{matrix} (11) & C = \frac{Q}{U_{1} + U_{2}} = \frac{Q}{\frac{Q}{C_{1}} + \frac{Q}{C_{2}}} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

或

\begin{matrix} (12) & \frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} . \end{matrix}

　　与电容的并联类似，可证明对于 $n$ 个电容器的串联，有

\begin{matrix} (13) & \frac{1}{C} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{C_{i}} . \end{matrix}

习题 1　

　　用数学归纳法分别证明 $n$ 个电容器的串联和并联公式（证明可参考弹簧的串联和并联）

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