泊松括号

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 哈密顿正则方程

   在理论力学里,泊松括号的引入能更加简洁地表明运动积分需要满足的条件。所谓运动积分,可以简单理解为在某一动力学系统中,不随时间改变的常数。动力学系统总满足二阶微分方程,所以我们总可以找到这样的运动积分。现在设 $f(q,p,t)$ 为粒子关于动量、坐标和时间的函数,且为运动积分,则根据定义我们有:

\begin{equation} \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial f}{\partial p}\dot{ p}~. \end{equation}
结合正则方程,我们可以把上式改写为
\begin{equation} \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+ \left\{H, f\right\} ~. \end{equation}
引入的泊松记号定义如下:

   对于任意两个函数 $u(q, p, t)$ 和 $v(q, p, t)$,泊松括号的 “作用” 为

\begin{equation} \left\{u, v\right\} = \sum_i \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q_i} \frac{\partial u}{\partial p_i} ~, \end{equation}
其中 $i$ 为系统的自由度。显然,如果函数 $f$ 不显含时间,且为运动积分(也就是一守恒量),则该函数与系统哈密顿量的泊松括号为 0.

1. 泊松括号的性质

   根据定义,我们可以证明泊松括号满足如下几条性质。

  1. 反对称性 $\{u,v\}=-\{v,u\}$
  2. 双线性 $ \left\{au+bv, \phi\right\} =a \left\{u, \phi\right\} +b \left\{v, \phi\right\} $
  3. $ \left\{uv, f\right\} = \left\{u, f\right\} v+u \left\{v, f\right\} $
  4. 轮换性,即雅克比恒等式
    \begin{equation} \left\{f, \left\{g, h\right\} \right\} + \left\{g, \left\{h, f\right\} \right\} + \left\{h, \left\{f, g\right\} \right\} =0~. \end{equation}

   前三条性质的证明只需套用定义,读者可自行验证。至于雅克比恒等式的证明,这里提供一条相对简单的思路。注意到,若固定函数 $u$,则泊松括号 $ \left\{u, v\right\} $ 可视作对 $v$ 的线性映射,实际上是一线性微分算符。那么进行两次泊松括号的运算,实际上是对 $v$ 求二阶偏导数。雅克比恒等式的三项都套了两层括号,那么展开后的式子是 $f,g,h$ 中任意函数的二阶偏导。通过观察底层括号,你会发现,$f,g,h$ 都出现了两次。那么如果我们能证明,进行两次泊松运算后,对其中一个函数的二阶偏导数是两两抵消的(只剩一阶偏导数),自然就证明了这条性质。具体的推导参见朗道的力学。

2. 泊松定理

   如果在一个系统里,我们能找到两个运动积分 $f$ 和 $g$,那么可以证明 $ \left\{f, g\right\} $ 也是一运动积分。证明如下:

\begin{equation} \frac{d \left\{f, g\right\} }{dt}= \left\{\frac{df}{dt}, g\right\} + \left\{f, \frac{dg}{dt}\right\} =0~. \end{equation}

3. 量子力学中的 “泊松” 括号

   如果读者已经学习过量子力学,可能会发现对易运算与泊松括号的相似之处。对易子作为量子力学的公设之一,其运算导出了力学量的运动方程,形式上也与本篇式 2 一致(当然,经典力学与量子力学的相似之处不止如此)。如果我们遵循某种额外施加的条件并视之为原则,那么我们可以找到这两种运算的直接联系。

   具体而言,我们假设,量子力学的对易运算其性质与经典力学相同,且算符不对易。那么我们有两种方法计算 $ \left\{uv, fg\right\} $

\begin{equation} \begin{aligned} \left\{uv, fg\right\} &=f \left\{u, g\right\} v+ \left\{u, f\right\} gv+uf \left\{v, g\right\} +u \left\{v, f\right\} g\\ &=f \left\{u, g\right\} v+ \left\{u, f\right\} vg+fu \left\{v, g\right\} +u \left\{v, f\right\} g~. \end{aligned} \end{equation}
因此,我们有
\begin{equation} \left\{u, f\right\} (gv-vg)=(uf-fu) \left\{v, g\right\} ~. \end{equation}
此式对 $u,f$ 永远成立,则需要 $(uf-fu)$ 与 $ \left\{u, f\right\} $ 线性依赖,所以
\begin{equation} i\hbar \left\{u, f\right\} =[u,f]~. \end{equation}

   为什么这里会出现 $i\hbar$?我想应该是因为我们关心的,往往是能被实际观测到的物理量,假定这些物理量为厄米算符,那么厄米算符的对易子一般是非厄米的,所以左边的泊松括号需要乘以复数 $i$,$\hbar$ 则为量纲为角动量的实常数.这可以是一个构建经典与量子之间对应的思路,譬如最基本的对易关系为 $[p,q]$。

                     

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