泊松括号

贡献者：叶月2_; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　哈密顿正则方程

　　在理论力学里，泊松括号的引入能更加简洁地表明运动积分需要满足的条件。所谓运动积分，可以简单理解为在某一动力学系统中，不随时间改变的常数。动力学系统总满足二阶微分方程，所以我们总可以找到这样的运动积分。现在设 $f (q, p, t)$ 为粒子关于动量、坐标和时间的函数，且为运动积分，则根据定义我们有：

\begin{matrix} (1) & \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial f}{\partial p} \dot{p} . \end{matrix}

结合正则方程，我们可以把上式改写为

\begin{matrix} (2) & \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + {H, f} . \end{matrix}

引入的泊松记号定义如下：

　　对于任意两个函数 $u (q, p, t)$ 和 $v (q, p, t)$ ，泊松括号的 “作用” 为

\begin{matrix} (3) & {u, v} = \sum_{i} \frac{\partial u}{\partial q_{i}} \frac{\partial v}{\partial p_{i}} - \frac{\partial v}{\partial q_{i}} \frac{\partial u}{\partial p_{i}}, \end{matrix}

其中

i

为系统的自由度。显然，如果函数

f

不显含时间，且为运动积分（也就是一守恒量），则该函数与系统哈密顿量的泊松括号为 0.

1. 泊松括号的性质

　　根据定义，我们可以证明泊松括号满足如下几条性质。

反对称性 ${u, v} = - {v, u}$
双线性 ${a u + b v, ϕ} = a {u, ϕ} + b {v, ϕ}$
${u v, f} = {u, f} v + u {v, f}$
轮换性，即雅克比恒等式
$\begin{matrix} (4) & {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0 . \end{matrix}$

　　前三条性质的证明只需套用定义，读者可自行验证。至于雅克比恒等式的证明，这里提供一条相对简单的思路。注意到，若固定函数 $u$ ，则泊松括号 ${u, v}$ 可视作对 $v$ 的线性映射，实际上是一线性微分算符。那么进行两次泊松括号的运算，实际上是对 $v$ 求二阶偏导数。雅克比恒等式的三项都套了两层括号，那么展开后的式子是 $f, g, h$ 中任意函数的二阶偏导。通过观察底层括号，你会发现， $f, g, h$ 都出现了两次。那么如果我们能证明，进行两次泊松运算后，对其中一个函数的二阶偏导数是两两抵消的（只剩一阶偏导数），自然就证明了这条性质。具体的推导参见朗道的力学。

2. 泊松定理

　　如果在一个系统里，我们能找到两个运动积分 $f$ 和 $g$ ，那么可以证明 ${f, g}$ 也是一运动积分。证明如下：

\begin{matrix} (5) & \frac{d {f, g}}{d t} = {\frac{d f}{d t}, g} + {f, \frac{d g}{d t}} = 0 . \end{matrix}

3. 量子力学中的 “泊松” 括号

　　如果读者已经学习过量子力学，可能会发现对易运算与泊松括号的相似之处。对易子作为量子力学的公设之一，其运算导出了力学量的运动方程，形式上也与本篇式 2 一致（当然，经典力学与量子力学的相似之处不止如此）。如果我们遵循某种额外施加的条件并视之为原则，那么我们可以找到这两种运算的直接联系。

　　具体而言，我们假设，量子力学的对易运算其性质与经典力学相同，且算符不对易。那么我们有两种方法计算 ${u v, f g}$

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} {u v, f g} & = f {u, g} v + {u, f} g v + u f {v, g} + u {v, f} g \\ = f {u, g} v + {u, f} v g + f u {v, g} + u {v, f} g . \end{aligned} \end{matrix}

因此，我们有

\begin{matrix} (7) & {u, f} (g v - v g) = (u f - f u) {v, g} . \end{matrix}

此式对

u, f

永远成立，则需要

(u f - f u)

与

{u, f}

线性依赖，所以

\begin{matrix} (8) & i ℏ {u, f} = [u, f] . \end{matrix}

　　为什么这里会出现 $i ℏ$ ？我想应该是因为我们关心的，往往是能被实际观测到的物理量，假定这些物理量为厄米算符，那么厄米算符的对易子一般是非厄米的，所以左边的泊松括号需要乘以复数 $i$ ， $ℏ$ 则为量纲为角动量的实常数.这可以是一个构建经典与量子之间对应的思路，譬如最基本的对易关系为 $[p, q]$ 。