贡献者： 叶月2_; addis
在理论力学里，泊松括号的引入能更加简洁地表明运动积分需要满足的条件。所谓运动积分，可以简单理解为在某一动力学系统中，不随时间改变的常数。动力学系统总满足二阶微分方程，所以我们总可以找到这样的运动积分。现在设 $f(q,p,t)$ 为粒子关于动量、坐标和时间的函数，且为运动积分，则根据定义我们有：
\begin{equation}
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial f}{\partial p}\dot{ p}~.
\end{equation}
结合正则方程，我们可以把上式改写为
\begin{equation}
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+ \left\{H, f\right\} ~.
\end{equation}
引入的泊松记号定义如下：
对于任意两个函数 $u(q, p, t)$ 和 $v(q, p, t)$，泊松括号的 “作用” 为
\begin{equation}
\left\{u, v\right\} = \sum_i \frac{\partial u}{\partial q_i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q_i} \frac{\partial u}{\partial p_i} ~,
\end{equation}
其中 $i$ 为系统的自由度。显然，如果函数 $f$ 不显含时间，且为运动积分（也就是一守恒量），则该函数与系统哈密顿量的泊松括号为 0.
1. 泊松括号的性质
根据定义，我们可以证明泊松括号满足如下几条性质。
- 反对称性
$\{u,v\}=-\{v,u\}$
- 双线性
$ \left\{au+bv, \phi\right\} =a \left\{u, \phi\right\} +b \left\{v, \phi\right\} $
-
$ \left\{uv, f\right\} = \left\{u, f\right\} v+u \left\{v, f\right\} $
- 轮换性，即雅克比恒等式
\begin{equation}
\left\{f, \left\{g, h\right\} \right\} + \left\{g, \left\{h, f\right\} \right\} + \left\{h, \left\{f, g\right\} \right\} =0~.
\end{equation}
前三条性质的证明只需套用定义，读者可自行验证。至于雅克比恒等式的证明，这里提供一条相对简单的思路。注意到，若固定函数 $u$，则泊松括号 $ \left\{u, v\right\} $ 可视作对 $v$ 的线性映射，实际上是一线性微分算符。那么进行两次泊松括号的运算，实际上是对 $v$ 求二阶偏导数。雅克比恒等式的三项都套了两层括号，那么展开后的式子是 $f,g,h$ 中任意函数的二阶偏导。通过观察底层括号，你会发现，$f,g,h$ 都出现了两次。那么如果我们能证明，进行两次泊松运算后，对其中一个函数的二阶偏导数是两两抵消的（只剩一阶偏导数），自然就证明了这条性质。具体的推导参见朗道的力学。
2. 泊松定理
如果在一个系统里，我们能找到两个运动积分 $f$ 和 $g$，那么可以证明 $ \left\{f, g\right\} $ 也是一运动积分。证明如下：
\begin{equation}
\frac{d \left\{f, g\right\} }{dt}= \left\{\frac{df}{dt}, g\right\} + \left\{f, \frac{dg}{dt}\right\} =0~.
\end{equation}
3. 量子力学中的 “泊松” 括号
如果读者已经学习过量子力学，可能会发现对易运算与泊松括号的相似之处。对易子作为量子力学的公设之一，其运算导出了力学量的运动方程，形式上也与本篇式 2 一致（当然，经典力学与量子力学的相似之处不止如此）。如果我们遵循某种额外施加的条件并视之为原则，那么我们可以找到这两种运算的直接联系。
具体而言，我们假设，量子力学的对易运算其性质与经典力学相同，且算符不对易。那么我们有两种方法计算 $ \left\{uv, fg\right\} $
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\{uv, fg\right\} &=f \left\{u, g\right\} v+ \left\{u, f\right\} gv+uf \left\{v, g\right\} +u \left\{v, f\right\} g\\
&=f \left\{u, g\right\} v+ \left\{u, f\right\} vg+fu \left\{v, g\right\} +u \left\{v, f\right\} g~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此，我们有
\begin{equation}
\left\{u, f\right\} (gv-vg)=(uf-fu) \left\{v, g\right\} ~.
\end{equation}
此式对 $u,f$ 永远成立，则需要 $(uf-fu)$ 与 $ \left\{u, f\right\} $ 线性依赖，所以
\begin{equation}
i\hbar \left\{u, f\right\} =[u,f]~.
\end{equation}
为什么这里会出现 $i\hbar$？我想应该是因为我们关心的，往往是能被实际观测到的物理量，假定这些物理量为厄米算符，那么厄米算符的对易子一般是非厄米的，所以左边的泊松括号需要乘以复数 $i$，$\hbar$ 则为量纲为角动量的实常数.这可以是一个构建经典与量子之间对应的思路，譬如最基本的对易关系为 $[p,q]$。