浮力的计算（散度公式）
贡献者： addis
现在我们用面积分的方法表示浮力。令 $z$ 轴竖直向上，且水面处 $z = 0$，则水面下压强为
\begin{equation}
P = -\rho_0 g z~.
\end{equation}
现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元，第 $i$ 个面元用矢量 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i$，表示，其中模长为面元的面积，方向为从内向外的法向。这个面元受到外界液体的压力为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = -P\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i = \rho_0 g z \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i~.
\end{equation}
现在把所有面元所受的压力求和，并用
曲面积分表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \oint \rho_0 g z \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~,
\end{equation}
这就是物体所受的浮力。使用
式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \int \boldsymbol\nabla (\rho_0 g z) \,\mathrm{d}{V} = \rho_0 g V_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
可见该结论与 “等效法” 中得出的一致。
也可以从物理的角度得出 “证明闭合曲面的法向量面积分为零”。