二项式定理（非整数幂）

贡献者： addis

未完成：应该结合泰勒展开来讲

预备知识　二项式定理

　　当 $a$ ， $b$ 为实数， $u$ 为非零实数时，有

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} (a + b)^{u} & = a^{u} + u a^{(u - 1)} b + \frac{u (u - 1)}{2!} a^{(u - 2)} b^{2} + \dots \\ = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{u (u - 1) \dots (u - i + 1)}{i!} a^{i} b^{u - i} \end{aligned} \end{matrix}

容易看出，当

u

为整数时，

i > u

的所有项为

0

，得到整数指数的二项式定理。

1. 数值验证

　　在学习微积分之前，这里只给出一个数值验证的方法（而不是证明）。在微积分中，这个定理可以用泰勒展开推导出来。

　　首先化简上式，不妨令 $| a | < | b |$ ，把 $b^{u}$ 提出括号，再令 $x \equiv a / b$ ，有 $| x | < 1$ 。

\begin{matrix} (2) & (a + b)^{u} = b^{u} (1 + x)^{u} = b^{u} \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{u (u - 1) \dots (u - i + 1)}{i!} x^{i}, \end{matrix}

所以只要用数值验证

\begin{matrix} (3) & (1 + x)^{u} = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{u (u - 1) \dots (u - i + 1)}{i!} x^{i} \end{matrix}

即可。接下来，可以用计算器或程序对式 3 的前

N

项进行求和。如果增加

N

使结果趋近精确值，则验证成功（见下表）。这里给出计算下表的 Matlab 程序。

表1：数值验证二项式定理（非整数幂）