二项式定理（非整数幂）
贡献者： addis
未完成：应该结合泰勒展开来讲
当 $a$， $b$ 为实数，$u$ 为非零实数时，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
(a+b)^u &= a^u + u a^{(u-1)}b + \frac{u(u-1)}{2!}a^{(u-2)}b^2 + \dots\\
&= \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{u(u-1)\dots (u-i+1)}{i!} a^i b^{u-i}
\end{aligned}~
\end{equation}
容易看出，当 $u$ 为整数时，$i>u$ 的所有项为 $0$，得到整数指数的二项式定理
。
1. 数值验证
在学习微积分之前，这里只给出一个数值验证的方法（而不是证明）。在微积分中，这个定理可以用泰勒展开推导出来。
首先化简上式，不妨令 $|a|<|b|$，把 $b^u$ 提出括号，再令 $x \equiv a/b$，有 $|x|<1$。
\begin{equation}
(a+b)^u = b^u (1+x)^u = b^u \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{u(u-1)\dots (u-i+1)}{i!} x^i~,
\end{equation}
所以只要用数值验证
\begin{equation}
(1+x)^u = \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{u(u-1)\dots (u-i+1)}{i!} x^i~
\end{equation}
即可。接下来，可以用计算器或程序对
式 3 的前 $N$ 项进行求和。如果增加 $N$ 使结果趋近精确值，则验证成功（见下表）。这里给出计算下表的 Matlab 程序
。
表1：数值验证二项式定理（非整数幂）
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$(1+x)^u$ | $N = 5$ | $N = 20$ | $N = 100$ | 精确值前 8 位
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$x = 0.5, u = -0.3$ | 0.88445640 | 0.88546751 | 0.88546749 | 0.88546749
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$x = 0.6, u = 3.1$ | 4.2930453 | 4.2931093 | 4.2931093 | 4.2931093
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