贡献者： DTSIo; addis
线性算子的谱（spectrum） 推广了矩阵的本征值这一概念。它对于了解线性算子如何作用于线性空间有着重要意义。在这一章中，我们主要讨论复巴拿赫空间上有界线性算子的谱。无界算子的谱将留待后续章节讨论。
由于实巴拿赫空间都可以复化成为复巴拿赫空间，所以在这一章中将一直考虑复巴拿赫空间。
1. 定义
定义 1 有界算子的谱
设 $X$ 是复巴拿赫空间，$T:X\to X$ 是有界线性算子。复数 $\lambda\in\mathbb{C}$ 称为算子 $T$ 的一个谱点（spectral point），如果 $\lambda-T$ 不是可逆映射。$T$ 的全体谱点的集合记为 $\sigma(T)$，称为谱集（spectrum），而补集 $\mathbb{C}\setminus\sigma(T)$ 称作预解集（resolvent set），有时记为 $\rho(T)$。
既然 $T-\lambda$ 是有界算子，根据开映像原理，如果逆映射 $(T-\lambda)^{-1}$ 存在，那么它也必然是连续的。因此 $T$ 的谱集可以等价地定义为使得 $(\lambda-T)^{-1}$ 不是有界线性算子的那些 $\lambda$ 的集合。
有界算子 $T$ 的谱集 $\sigma(T)$ 可以分成三个互不相交的部分（可能有某个部分是空集，但按照下节的基本定理，谱集本身一定非空）：
- 点谱 $\sigma_p(T)$ (point spectrum)，定义为使得 $\text{Ker}(\lambda-T)$ 为非平凡子空间的那些谱点 $\lambda$ 的集合，也即 $T$ 的本征值的集合。
- 连续谱 $\sigma_c(T)$（continuous spectrum），定义为使得 $\text{Ker}(\lambda-T)=\{0\}$，且 $\text{Ran}(\lambda-T)$ 在空间 $X$ 中稠密的那些谱点 $\lambda$ 的集合。
- 剩余谱 $\sigma_r(T)$（remaining spectrum），定义为使得 $\text{Ker}(\lambda-T)=\{0\}$，且 $\text{Ran}(\lambda-T)$ 在空间 $X$ 中不稠密的那些谱点 $\lambda$ 的集合。
接下来马上就能看到，对于无穷维巴拿赫空间上的算子，定义连续谱和剩余谱是十分必要的。在讨论无界算子（尤其是量子力学中常见的算子）时更能看出这些概念的用处。
2. 一些例子
例 1 矩阵的本征值
设 $A$ 是 $n\times n$ 复矩阵。可以把它等价地看成 $\mathbb{C}^n$ 到自己的线性算子。如果 $\lambda I_n-A$ 不可逆，那么它的行列式必定为零。按照线性方程组的性质，必然存在一个非零向量 $v\in \mathbb{C}^n$ 使得 $\lambda v-Av=0$，也就是说 $\lambda$ 是 $A$ 的本征值。这样看来，对于有限维空间上的线性算子，谱的概念和本征值是等价的。
然而对于无穷维巴拿赫空间，谱点不一定是本征值。
例 2 卷积算子
考虑 $L^2(\mathbb{R})$ 上的卷积算子
$$
(Tf)(x):=\int_{\mathbb{R}}f(y)e^{-(x-y)^2}dy~.
$$
如果取傅里叶变换，可看出它实际上是一个傅里叶乘子，即 $Tf$ 的傅里叶变换是
$$
\hat f(\xi)e^{-\xi^2}~.
$$
这个算子在 $L^2(\mathbb{R})$ 上显然不可逆：例如，假若 $Tf$ 的傅里叶变换是 $(1+\xi^2)^{-1}$，那么就必须有 $\hat f(\xi)=e^{\xi^2}(1+\xi^2)^{-1}$，这显然不能是任何 $L^2$ 函数的傅里叶变换。但 $T$ 的像却也是稠密的：如果 $\hat f$ 具有紧支集，那么 $T^{-1}f$ 的傅里叶变换也具有紧支集，而傅里叶变换具有紧支集的那些 $L^2$ 函数组成 $L^2(\mathbb{R})$ 的稠密子空间。因此 $\lambda=0$ 是 $T$ 的连续谱点。
通过类似的推理，不难看出 $\sigma(T)=[0,1]$，也就是函数 $e^{-\xi^2}$ 的值域。这里的所有谱点都是连续谱点。
例 3 推移算子
考虑序列空间 $l^2$ 上的推移算子：
$$
S:(x_1,x_2,x_3,\dots)\to(0,x_1,x_2,\dots)~.
$$
于是 $S$ 的像是余维数为 1 的闭子空间，可见 $S$ 不是可逆算子。另一方面，$Sx=0$ 当且仅当 $x=0$，于是 $\lambda=0$ 并非 $S$ 的本征值。可见 $\lambda=0$ 是 $S$ 的剩余谱点。
通过求解方程 $(S-\lambda)x=y$，最终可以证明 $\sigma_c(S)=\{\lambda:|\lambda|=1\}$，$\sigma_r(S)=\{\lambda:|\lambda|<1\}$，而 $S$ 没有本征值。
不过，对于经典数学物理问题中常见的一大类算子（称为紧算子），真正使人感兴趣的谱点都是本征值。紧算子的性质与有限维矩阵是很像的。
然而，在量子力学中，连续谱和剩余谱都有鲜明的物理意义。一般的量子力学教材将算子的谱统称为本征值；尽管使用这样的术语并非完全不确切，但也可能会引起一些不必要的误会。