有界算子的预解式

                     

贡献者： DTSIo

预备知识　有界算子的谱

定义 1　预解式

　　 设 $X$ 是复巴拿赫空间，$T:X\to X$ 是有界线性算子。定义 $T$ 的预解式（resolvent） 为复变量 $z\in\mathbb{C}$ 的算子值函数 $$ R(z;T):=(z-T)^{-1}~, $$ 如果 $z$ 使得上式有意义（即 $z$ 属于 $T$ 的预解集）。

　　 然而我们首先要确认这个式子确实对某些 $z$ 有意义。引入下列定义：

定义 2　冯诺依曼级数

　　 设 $X$ 是巴拿赫空间，$A:X\to X$ 是有界算子。算子 $A$ 的几何级数 $$ \text{Id}+A+A^2+\dots~ $$ 称为冯诺依曼级数（von Neumann series）。

　　 不难看出在 $\|A\|<1$ 时，它按照算子范数收敛到 $(\text{Id}-A)^{-1}$，这与通常的数值几何级数很类似。

　　 借助冯诺依曼级数，立刻看出当 $|z|>\|T\|$ 时成立 $$ (z-T)^{-1} =\frac{1}{z}(1-z^{-1}T)^{-1} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}\frac{T^n}{z^n}~, $$ 所以可见 $R(z;T)$ 对于充分大的 $z$ 确实是全纯函数。

　　 据此便可以证明如下基本命题：

定理 1　

  1. 如果 $T:X\to X$ 是有界线性算子，那么预解集 $\rho(T)$ 是开集，而谱集 $\sigma(T)$ 是紧集。
  2. 如果 $T:X\to X$ 是有界线性算子，那么它至少有一个谱点，也就是说 $\sigma(T)$ 是非空紧集。

　　 证明 对于 1.，如果 $\lambda_0\in\rho(T)$，那么 $A:=\lambda_0-T$ 是有界的可逆算子。于是可作冯诺依曼级数 $$ A^{-1}(\text{Id}+zA^{-1}+z^2A^{-2}+\dots+z^nA^{-n}+\dots)~. $$ 如果 $|z|<\|A^{-1}\|^{-1}$，那么这个级数收敛到 $A^{-1}(\text{Id}-zA^{-1})^{-1}=(\lambda_0-z-T)^{-1}$。这说明预解集的点的某个邻域还包含在预解集内，从而预解集是开集，而谱集是闭集。另一方面，我们已经知道，只要 $|z|>\|T\|$，$(z-T)^{-1}$ 便是全纯函数，于是谱集包含在圆 $|z|\leq\|T\|$ 内。所以谱集是紧集。

　　 对于 2.，如果 $(z-T)^{-1}$ 对于所有复数 $z$ 都存在，那么根据上面的级数展开，可以看出它是全复平面上的算子值全纯函数，而且由于 $|z|>2\|T\|$ 时有 $$ (z-T)^{-1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}\frac{T^n}{z^n}~, $$ 而右边级数的模显然小于 2，所以 $f(z)$ 是有界的全纯函数。按照刘维尔定理，它只能是常值函数，这当然不可能。Q.E.D.

　　 从证明中可见 $R(z;T)$ 是定义在 $\rho(T)$ 上的算子值全纯函数。

                     

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