图

概率流密度

预备知识 薛定谔方程

结论

   一维情况下,对于某个波函数 $\psi(x,t)$,定义概率流为

\begin{equation} J(x,t) = \frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m} \left(\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} - \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) \end{equation}
某个区间中的概率增加率等于流入该区间的概率流
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_{ab}(t) = J(a,t) - J(b,t) \end{equation}
三维情况下,概率流的定义变为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) = \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} (\psi \boldsymbol\nabla \psi^* - \psi ^* \boldsymbol\nabla \psi) \end{equation}
且有
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_\mathcal{V}(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int_\mathcal{V} \left\lvert \psi ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{V} = \int_\mathcal{S} \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
或写为概率守恒公式(类比电荷守恒)
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\psi^* \psi) + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{J}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
平面波的概率流的速度就是例子密度.

推导

   对一维情况有

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_{ab} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int_a^b \psi^* \psi \,\mathrm{d}{x} = \int_a^b \left(\psi \frac{\partial}{\partial{t}} \psi^* + \psi^* \frac{\partial}{\partial{t}} \psi \right) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
一维薛定谔方程以及复共轭为
\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{x}^{2}} + V\psi \end{equation}
\begin{equation} - \mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial^{2}{\psi^*}}{\partial{x}^{2}} + V{\psi^*} \end{equation}
代入上式的时间微分,得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} P_{ab} &= \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} \int_a^b \left(\psi^* \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{x}^{2}} - \psi \frac{\partial^{2}{\psi^*}}{\partial{x}^{2}} \right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} \int_a^b \frac{\partial}{\partial{x}} \left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \left. \frac{ \mathrm{i} \hbar }{2m} \left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial x} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial x} \right) \right\rvert _{x=a}^{x=b} = J(a) - J(b) \end{aligned} \end{equation}
三维情况的证明可类比.

概率流的速度

   类比经典力学或电磁学中的 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{v}} $,若定义概率流速度为概率流除以概率密度,则平面波 $\psi (x) = A \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 的概率流速为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} / \left\lvert \psi \right\rvert ^2 = \frac{ \mathrm{i} \hbar}{2m} \left(- \left\lvert A \right\rvert ^2 \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} - \left\lvert A \right\rvert ^2 \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \right) / \left\lvert A \right\rvert ^2 = \frac{\hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} }{m} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }{m} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _{CM} \end{equation}
所以平面波的概率流速度等于具有相同动量的经典粒子的速度.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利