图

概率流密度

预备知识 含时薛定谔方程

结论

   一维情况下,对于某个波函数 $\psi(x,t)$,定义概率流为

\begin{equation} J(x,t) = \frac{\I\hbar}{2m} \qtyRound{\psi \pdvTwo{\psi^*}{x} - \psi^* \pdvTwo{\psi}{x}} \end{equation}
某个区间中的概率增加率等于流入该区间的概率流
\begin{equation} \dv{t} P_{ab}(t) = J(a,t) - J(b,t) \end{equation}
三维情况下,概率流的定义变为
\begin{equation} \bvec J(\bvec r,t) = \frac{\I\hbar }{2m} (\psi \grad \psi^* - \psi ^* \grad \psi) \end{equation}
且有
\begin{equation} \dv{t} P_\mathcal{V}(t) = \dv{t} \int_\mathcal{V} \abs{\psi (\bvec r,t)}^2 \dd{V} = \int_\mathcal{S} \bvec J(\bvec r,t) \vdot \dd{\bvec s} \end{equation}
或写为概率守恒公式(类比电荷守恒)
\begin{equation} \dv{t} (\psi^* \psi) + \div\bvec J = \bvec 0 \end{equation}
平面波的概率流的速度就是例子密度.

推导

   对一维情况有

\begin{equation} \dv{t} P_{ab} = \dv{t} \int_a^b \psi^* \psi \dd{x} = \int_a^b \qtyRound{\psi \pdv{t} \psi^* + \psi^* \pdv{t} \psi} \dd{x} \end{equation}
一维薛定谔方程以及复共轭为
\begin{equation} \I\hbar \pdvTwo{\psi}{t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \pdvTwo[2]{\psi}{x} + V\psi \end{equation}
\begin{equation} - \I\hbar \pdvTwo{\psi^*}{t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \pdvTwo[2]{\psi^*}{x} + V{\psi^*} \end{equation}
代入上式的时间微分,得
\begin{equation}\ali{ \dv{t} P_{ab} &= \frac{\I\hbar }{2m} \int_a^b \qtyRound{\psi^* \pdvTwo[2]{\psi}{x} - \psi \pdvTwo[2]{\psi^*}{x}}\dd{x} = \frac{\I\hbar }{2m} \int_a^b \pdv{x} \qtyRound{\psi^* \pdvTwo{\psi}{x} - \psi \pdvTwo{\psi^*}{x}} \dd{x}\\ &= \eval{\frac{\I\hbar }{2m} \qtyRound{\psi^*\pdvTwo{\psi}{x} - \psi \pdvTwo{\psi^*}{x}}}_{x=a}^{x=b} = J(a) - J(b) }\end{equation}
三维情况的证明可类比.

概率流的速度

   类比经典力学或电磁学中的 $\bvec j = \rho \bvec v$,若定义概率流速度为概率流除以概率密度,则平面波 $\psi (x) = A\E^{\I \bvec k \vdot \bvec r}$ 的概率流速为

\begin{equation} \bvec v = \bvec j/\abs{\psi}^2 = \frac{\I\hbar}{2m} \qtyRound{-\abs{A}^2 \I\bvec k - \abs{A}^2 \I\bvec k}/\abs{A}^2 = \frac{\hbar \bvec k}{m} = \frac{\bvec p}{m} = \bvec v_{CM} \end{equation}
所以平面波的概率流速度等于具有相同动量的经典粒子的速度.

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