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中点法解常微分方程(组)

预备知识 常微分方程(组)的数值解

   我们先来尝试用欧拉法解一阶微分方程

\begin{equation} y'(t) = y \end{equation}
令初始条件为 $y(0) = 1$.令步长为 $h = 0.5$, 步数为 $5$, 结果如图 1 所示(代码见词条最后).

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图1:欧拉法数值解(蓝)和解析解(红)

   由“”我们知道该方程的解析解为 $y = \E^{t}$. 对比数值解和解析解, 不难分析出误差产生的原因: 我们仅用每段步长区间左端的导数预测整个区间的曲线增量. 如果我们能利用每个区间中点的导数计算整个区间的增量, 这个预测将会比欧拉法更精确.

   考虑微分方程 $y'(t) = f(y, t)$ 在区间 $[t_n, t_{n+1}]$ 的曲线, 若我们已知区间左端的函数值为 $y_n$, 我们可以先用微分近似估计曲线中点的函数值为

\begin{equation} y \qtyRound{t_n + \frac h2} = y_n + \frac h2 f(y_n, t_n) \end{equation}
然后再求出这个近似中点的导数为
\begin{equation} y' \qtyRound{t_n + \frac h2} = f \qtySquare{y_n + \frac h2 f(t_n, y_n), t_n + \frac h2} \end{equation}
最后我们利用这个导数估算该区间的曲线增量
\begin{equation} y_{n+1} = y_n + hy' \qtyRound{t_n + \frac h2} = y_n + h f \qtySquare{y_n + \frac h2 f(t_n, y_n), t_n + \frac h2} \end{equation}
这就是解常微分方程的中点法

   我们再来用中点法取同样的步长计算式 1 , 结果如图 2 所示.

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图2:中点法数值解(蓝)和解析解(红)

   可见虽然中点法每一步的计算过程比欧拉法稍微复杂一些, 但精度却大大地提高了.

   中点法同样适用于微分方程组, 例如对于常微分方程组

\begin{equation}\leftgroup{ x'(t) &= f(x, y, t)\\ y'(t) &= g(x, y, t) }\end{equation}
首先计算近似中点为
\begin{equation}\leftgroup{ x_{n+1/2} &= x_n + h f(x_n, y_n, t_n)\\ y_{n+1/2} &= y_n + h g(x_n, y_n, t_n) }\end{equation}
然后有
\begin{equation} \leftgroup{ x_{n+1} &= x_n + h f \qtyRound{x_{n+1/2}, y_{n+1/2}, \frac h2}\\ y_{n+1} &= y_n + h g \qtyRound{x_{n+1/2}, y_{n+1/2}, \frac h2} }\end{equation}

  odeMid.m

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% 设置参数
N = 6;
h = 0.5;
t = linspace(0, (N-1)*h, N); % 自变量
t0 = linspace(0, (N-1)*h, 100); % 用于画图

% 欧拉法
y = zeros(1,N); % 预赋值
y(1) = 1; % 初值
for ii = 1:N-1
    y(ii+1) = y(ii) + h*y(ii);
end

% 画图
figure;
plot(x,y,'+-');
hold on;
plot(t0, exp(t0));

%中点法
y = zeros(1,N);
y(1) = 1;
for ii = 1:N-1
    y(ii+1) = y(ii) + h*(y(ii) + 0.5*h*y(ii));
end

% 画图
figure;
plot(x,y,'+-');
hold on;
plot(x0, exp(x0));
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