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虚误差函数

预备知识 误差函数

   虚误差函数的定义为

\begin{equation} \erfi(x) = -\I \erf(\I x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^x \E^{t^2} \dd{t} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \E^{t^2} \dd{t} \end{equation}

   推导如下, 使用换元法 $t = \I \tau$ 有

\begin{equation} \erfi(x) = \frac{-\I}{\sqrt{\pi}} \int_{-\I x}^{\I x} \E^{t^2} \dd{t} = \frac{-\I}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^{x} \E^{-(\I \tau)^2} \dd{(\I \tau)} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-x}^{x} \E^{\tau^2} \dd{\tau} \end{equation}
同理可得
\begin{equation} \erfi(\I x) = \I \erf(x) \end{equation}

   其导函数为

\begin{equation} \dv{x} \erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \E^{x^2} \end{equation}
所以
\begin{equation} \int \E^{x^2} \dd{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \erfi(x) + C \end{equation}

   与误差函数的级数展开同理, $\erfi(x)$ 的级数展开为

\begin{equation} \erfi(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\qtyRound{x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} \dots} \end{equation}

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