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算符

预备知识 导数

   算符(也叫算子)可以理解为 “函数的函数”, 即一个函数经过算符作用可以得到另一个算符. 例如将一个函数乘以一个数 $\lambda$ 或另一个函数, 又例如对一个函数求导(微分算符)等等.

例1 

   令算符 $ \hat{A} $ 为

\begin{equation} \hat{A} = 2 \sin\left(x\right) \end{equation}
那么它作用在函数 $f(x)$ 上就是
\begin{equation} \hat{A} f(x) = \sin\left(x\right) f(x) \end{equation}
令算入 $ \hat{B} $ 为
\begin{equation} \hat{B} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \end{equation}
那么
\begin{equation} \hat{A} f(x) = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) f(x) = \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + f(x) \end{equation}
令算符 $ \hat{C} $ 为
\begin{equation} \hat{C} = \hat{A} \hat{B} = \sin\left(x\right) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) \end{equation}
那么
\begin{equation} \hat{C} f(x) = \hat{A} [ \hat{B} f(x)] = \sin\left(x\right) \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + \sin\left(x\right) f(x) \end{equation}
令算符 $ \hat{D} $ 为
\begin{equation} \hat{D} = \hat{A} + \hat{B} \end{equation}
那么
\begin{equation} \hat{D} f(x) = \hat{A} f(x) + \hat{B} f(x) \end{equation}
令算符 $ \hat{E} $ 为
\begin{equation} \hat{E} = { \hat{B} }^2 \end{equation}
相当于 $ \hat{B} $ 对某函数作用两次, 即
\begin{equation} \begin{aligned} \hat{E} f(x) &= \hat{B} [ \hat{B} f(x)] = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) \left[ \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + f(x) \right] \\ &= \frac{\mathrm{d}^{2}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2 \frac{\mathrm{d}{f(x)}}{\mathrm{d}{x}} + f(x) \end{aligned} \end{equation}
所以也可以将这个过程简写为
\begin{equation} \hat{B} ^2 = \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \right) ^2 = \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + 2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} + 1 \end{equation}

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