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证明闭合曲面的法向量面积分为零

   对于闭合曲面 $\Omega$, 证明 $\oint_\Omega \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $, 其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $ 是曲面上的面元矢量,其大小为面元的面积 $ \,\mathrm{d}{s} $, 方向为沿着该面元的法线向外. 把矢量积分分解成三个分量,有

\begin{equation} \begin{aligned} \oint_\Omega \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } & = \oint_\Omega [( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ] \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \oint\limits_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{aligned} \end{equation}
下面以第一项为例,证明积分结果为 0, 后两项的证明类似. 根据散度定理,矢量场在闭合曲面上的通量等于该矢量场散度在曲面内空间的体积分,所以
\begin{equation} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int_V ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) \,\mathrm{d}{V} = \int_V 0 \,\mathrm{d}{V} = 0 \end{equation}

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图1:闭合曲面上的一个面元

    

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