贡献者： addis
预备知识 反正切函数
我们经常会遇到这样一个问题：已知平面直角坐标系上一点 $P$，坐标为 $(x, y)$，求射线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向的夹角 $\theta$。首先我们要给这个夹角取一个范围，一般来说既可以取 $[0, 2\pi)$ 也可以取 $(-\pi, \pi]$，但如无特殊说明，我们统一使用后者。
一些教材中直接用 $\theta = \arctan\left(y/x\right) $，$\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$ 来表示这一关系，这是不严谨的，因为只能表示半个圆周。我们下面来定义一个符合要求的新函数，记为 $ \operatorname{Arctan} (y, x)$。在许多计算机编程语言中 $\arctan$ 被记为 atan，$ \operatorname{Arctan} $ 被记为 atan2。也有一些文献使用 $ \operatorname {Tan}^{-1}$。其中定义为 $x, y \in \mathbb R$，即任意实数，值域为 $(-\pi, \pi]$。
\begin{equation}
\operatorname{Arctan} (y,x) \equiv
\begin{cases}
\arctan\left(y/x\right) \quad &(x > 0)\\
\arctan\left(y/x\right) + \pi &(x < 0,\,y \geqslant 0)\\
\arctan\left(y/x\right) - \pi &(x < 0,\,y < 0)\\
\pi /2 &(x = 0, \,y > 0)\\
-\pi /2 &(x = 0, \,y < 0)\\
0 & (x=0,\,y=0)~.
\end{cases}
\end{equation}
小时百科统一使用该定义，但也有一些其他文献将其定义为上式加 $\pi$，使值域为 $(0, 2\pi]$，或者认为 $x = 0, y = 0$ 无定义（不属于定义域）。
1. 偏导数
函数在除了在原点和 $x$ 轴的负半轴，在其它定义域都是连续且光滑的，即存在连续的无穷阶偏导。一阶偏导为
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial{x}} \operatorname{Arctan} (y, x) = \frac{-y}{x^2 + y^2} ~,\qquad
\frac{\partial}{\partial{y}} \operatorname{Arctan} (y, x) = \frac{x}{x^2 + y^2}~.
\end{equation}
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