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四象限 Arctan 函数

   我们经常会遇到这样一个问题: 已知平面直角坐标系上一点 $P$, 坐标为 $(x, y)$, 求射线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向的夹角 $\theta$.首先我们要给这个夹角取一个范围, 一般来说既可以取 $[0, 2\pi)$ 也可以取 $(-\pi, \pi]$, 但如无特殊说明, 我们统一使用后者.

   一些教材中通常直接用 $\theta = \arctanRound{y/x}$ 来表示这一关系, 但这仅适用于 $x > 0$ 的情况, 当 $x < 0$ 时 $\theta$ 的范围仍然只能取 $(-\pi/2, \pi/2)$.

   所以我们来定义一个符合要求的新函数, 记为 $\Arctan(y, x)$1

\begin{equation} \Arctan(y,x) \equiv \leftgroup{ &\arctanRound {y/x} &\quad &(x > 0)\\ &\arctanRound {y/x} + \pi &&(x < 0,\,y \geqslant 0)\\ &\arctanRound {y/x} - \pi &&(x < 0,\,y < 0)\\ &\pi /2 &&(x = 0, \,y > 0)\\ & -\pi /2 &&(x = 0, \,y < 0)\\ &0 && (x=0,\,y=0) } \end{equation}

   注意这个函数在除了在原点和 $x$ 轴的负半轴, 其它地方都是连续且光滑的.


1. 在许多编程语言中 $\arctan$ 被记为 atan, $\Arctan$ 被记为 atan2. 也有一些教材将 $\Arctan$ 记为 $\opn{Tan}^{-1}$

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