标准型与唯一分解定理

                     

贡献者： int256

　　 我们对素数与合数一节中讨论到的定理 1 中的分解结果 $n=p_1\times p_2\times \cdots \times p_{m+1}$，进行合并，使得相同的 $p_i$ 表示为次方的形式，就得到了 $n$ 的标准型。

　　 而标准型是唯一的，这被是唯一分解定理，又称算术基本定理。

　　 而唯一分解定理是欧几里得第一定理的推论。

　　 先不证明欧几里得第一定理（将在整数模与裴蜀定理一文中证明），但先假设其成立。接下来从其推导出算数基本定理。

　　 由欧几里得第一定理，可以得到推论，若

则 $p|a_1$ 或 $p|a_2$ 或 $p|a_3$ 或... 或 $p|a_n$。由素数的定义可以立刻得出，若各 $a_i$ 都是素数，则 $p$ 是 $a_i$ 中的一者。

　　 考虑 $n$ 有标准型 $\{(p_i,a_i)\}$ 与 $\{(q_j,b_j)\}$：

这使得对于每个 $p_i$ 都有 $p_i|(q_1^{b_1}\times q_2^{b_2}\times \cdots \times q_l^{b_l})$。这说明每个 $p_i$ 都是某个 $q_j$。类似的，可以得到每个 $q_j$ 都是某个 $p_i$。这就说明 $k=l$。而由于都是按递增的顺序排序的，则对于 $i=1,2,\dots ,k$ 都有 $p_i=q_i$。

　　 下面考虑若 $a_i>b_i$，则除以 $p_i^{b_i}$，并利用 $p_i=q_i$ 得到：

也就是 此时由于 $a_i>b_i$，等式左侧是 $p_i$ 的倍数，而右边并不是 $p_i$ 的倍数，矛盾！故 $a_i>b_i$ 不成立。类似的，可以证明，$b_i>a_i$ 也不成立，故 $a_i=b_i$，这就证明了算术基本定理。

　　 证明：考虑若级数收敛，则存在某 $j$ 使得 $j$ 项以后的余项和小于 $\frac{1}{2}$，即

而满足 $n\le x$ 且能被某素数 $p$ 整除的正整数 $n$ 至多有 $x/p$ 个。考虑 $n\le x$ 且能被 $p_{j+1},p_{j+2},\dots$ 中至少一者整除的正整数 $n$ 的个数记为 $D(x)$，则 $x-D(x)$ 必不多于

　　 下面估计 $D(x)$。而 $D(x)$ 就代表不超过 $x$ 且不能被任何素数 $p>p_j$ 整除的数 $n$ 的个数。显然可以把 $n$ 表示为 $n=k^{2}m$，其中 $m$ 无平方因子，也就是说利用算术基本定理将 $m$ 表示为

则各 $a_i$ 要么为 $0$，要么为 $1$。而 $k$ 必定有 $k\le \sqrt{n}\le \sqrt{x}$。故 $m$ 至多有 $2^j$ 种取值而 $k$ 至多有 $\sqrt{x}$ 种取值，故 $D(x)\le 2^j\sqrt{x}$。

　　 综上，应当有 $x/2\le N(x)\le 2^j\sqrt{x}$，而这对于 $x\ge 2^{2j+2}$ 不成立。矛盾！故该级数发散。