自旋求和

             

贡献者: zhousiyi

   计算费曼图的时候,我们经常需要对费米子的极化态进行求和.我们可以进行这样的求和

\begin{align}\nonumber \sum_{s = 1,2}u^s(p)\bar u^s(p ) & = \sum_s \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma}\xi^s \\ \sqrt{p\cdot\bar\sigma} \xi^s \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \xi^{s\dagger}\sqrt{p\cdot\bar\sigma} & \xi^{s\dagger}\sqrt{p\cdot \sigma} \end{pmatrix}\\\nonumber & = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot\sigma}\sqrt{p\cdot \bar \sigma} & \sqrt{p\cdot \sigma}\sqrt{p\cdot\sigma} \\ \sqrt{p\cdot\bar\sigma} \sqrt{p\cdot \bar\sigma} & \sqrt{p\cdot\bar\sigma} \sqrt{p\cdot\sigma} \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} m & p\cdot \sigma \\ p\cdot \bar \sigma & m \end{pmatrix}~. \end{align}
第二行的化简过程中我们用到了这样的归一化条件
\begin{equation} \sum_{s=1,2}\xi^s\xi^{s\dagger} = 1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}~. \end{equation}
我们推出了自旋求和公式
\begin{equation} \sum_s u^s(p)\bar u^s(p) = \gamma \cdot p + m ~. \end{equation}
同理
\begin{equation} \sum_s v^s(p)\bar v^s(p) = \gamma\cdot p - m ~. \end{equation}
$\gamma \cdot p$ 是一个经常要用到的物理量.我们可以用 $p\!\!\!/\equiv \gamma^\mu p_\mu$ 来代替.


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