自旋求和

贡献者： zhousiyi

　　计算费曼图的时候，我们经常需要对费米子的极化态进行求和。我们可以进行这样的求和

\begin{aligned} \sum_{s = 1, 2} u^{s} (p) {\bar{u}}^{s} (p) & = \sum_{s} (\begin{array}{c} \sqrt{p \cdot σ} ξ^{s} \\ \sqrt{p \cdot \bar{σ}} ξ^{s} \end{array}) (\begin{array}{c} ξ^{s †} \sqrt{p \cdot \bar{σ}} & ξ^{s †} \sqrt{p \cdot σ} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} \sqrt{p \cdot σ} \sqrt{p \cdot \bar{σ}} & \sqrt{p \cdot σ} \sqrt{p \cdot σ} \\ \sqrt{p \cdot \bar{σ}} \sqrt{p \cdot \bar{σ}} & \sqrt{p \cdot \bar{σ}} \sqrt{p \cdot σ} \end{array}) \\ (1) & = (\begin{array}{c} m & p \cdot σ \\ p \cdot \bar{σ} & m \end{array}) . \end{aligned}

第二行的化简过程中我们用到了这样的归一化条件

\begin{matrix} (2) & \sum_{s = 1, 2} ξ^{s} ξ^{s †} = 1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

我们推出了自旋求和公式

\begin{matrix} (3) & \sum_{s} u^{s} (p) {\bar{u}}^{s} (p) = γ \cdot p + m . \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (4) & \sum_{s} v^{s} (p) {\bar{v}}^{s} (p) = γ \cdot p - m . \end{matrix}

γ \cdot p

是一个经常要用到的物理量。我们可以用

p / \equiv γ^{μ} p_{μ}

来代替。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。