量子不可克隆定理
贡献者： ASAHI
所谓克隆在物理上可以看作是信息的复制。当我们谈克隆一个原子的时候，并不是说凭空制造出一个新的原子来，而是把原来的原子的状态（动量，各种量子数等）复制到目标原子上。
在经典信息学中，对任意输入的信息进行复制似乎并不是一个困难的事情，我们也希望将它推广到量子信息学中，也就是能够对任意输入的。但是在量子物理中，却有着一个重要的被称作不可克隆定理的结论：
定理 1
不能构造出一个能够确定性地复制任意量子态而且不改变原始量子态的克隆机器。也就是说不存在一个作用在 $\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}$ 上的幺正演化 $U$，满足 $\forall \left\lvert \psi \right\rangle $
\begin{equation}
U \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle =e^{i\alpha(\psi)} \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert \psi \right\rangle ~.
\end{equation}
证明 1：
对于任意两个量子态 $ \left\lvert \psi_1 \right\rangle , \left\lvert \psi_2 \right\rangle $，有
\begin{equation}
U \left\lvert \psi_1 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle =e^{i\alpha(\psi_1)} \left\lvert \psi_1 \right\rangle \left\lvert \psi_1 \right\rangle ,\quad U \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle =e^{i\alpha(\psi_2)} \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert \psi_2 \right\rangle ~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle &=( \left\langle \psi_1 \right\rvert \left\langle 0 \right\rvert U^\dagger)(U \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle )\\
&=( \left\langle \psi_1 \right\rvert \left\langle \psi_1 \right\rvert e^{-i\alpha(\psi_1)})(e^{i\alpha(\psi_2)} \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert \psi_2 \right\rangle )\\
&=e^{i(\alpha(\psi_2)-\alpha(\psi_1))} \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle ^2~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此有 $| \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle |=| \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle |^2$，只有当 $| \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle |=0$ 或 1 时才成立。前者代表两个态是正交的，后者代表两个态是同一个态。这和任取两个态的假设相矛盾。
证明 2：
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。