量子信息守恒

贡献者： ASAHI

　　在这一章中，我们将会讨论量子信息中的两个基本原理：不可克隆定理和不可删除定理。它们有时也被冠名为量子信息守恒原理，因为它们告诉了我们量子信息相比于经典信息的不同之处：它不可被复制，也不可被删除。这样的特性在很大程度上成为了量子通信、量子密码学中的无条件安全性的来源，而且也导致了量子纠错等任务相比于经典信息处理困难得多。

1. 量子不可克隆定理

　　在日常生活中，我们经常需要对信息进行拷贝、复制或者说克隆。这一点可以通过手动抄写、复印机、文件拷贝等办法进行处理。

　　不管怎么样，在信息的复制过程中，我们需要将想要复制的信息(这里用 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle$ 来标记）和一份空白的信息（这里用 $ \left\lvert 0 \right\rangle \rangle$ 来标记）放进一个克隆机器中，这台机器便会输出两份信息 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle \left\lvert \psi \right\rangle \rangle$。注意我们要求 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle$ 是任意的。不然这也称不上是一个克隆机器，只是一个把 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle$ 写入到 $ \left\lvert 0 \right\rangle \rangle$ 的机器罢了。我们同样要求克隆机不会破坏初始输入的信息。

　　对于经典信息来说，$ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle=0,1$，在这种情况下显然是存在克隆机的。只需要让它执行这样的程序：

如果 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle=0$，那么在 $ \left\lvert 0 \right\rangle \rangle$ 写入 0。
如果 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle=1$，那么在 $ \left\lvert 1 \right\rangle \rangle$ 写入 1。

　　这也是拷贝文件时的处理逻辑。

　　下面的问题是：对于量子信息（也就是 $ \left\lvert \psi \right\rangle \rangle= \left\lvert \psi \right\rangle $）是否也存在这种克隆机呢？具体来说，是否有这样一个幺正演化 $U$，使得对于任意的输入 $ \left\lvert \psi \right\rangle $，都有

\begin{equation} U \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle = \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert \psi \right\rangle ~. \end{equation}

成立？

　　量子不可克隆定理告诉我们，这样的 $U$ 并不存在。

　　 证明：假如存在着这样的 $U$，那么对于任意两个态 $ \left\lvert \psi_1 \right\rangle , \left\lvert \psi_2 \right\rangle $ 来说，有

\begin{equation} \begin{aligned} U \left\lvert \psi_1 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle &= \left\lvert \psi_1 \right\rangle \left\lvert \psi_1 \right\rangle \\ U \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle &= \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert \psi_2 \right\rangle ~. \end{aligned} \end{equation}

那么有

\begin{equation} \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle = \left\langle \psi_1 \right\rvert \left\langle 0 \right\rvert U^\dagger U \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert 0 \right\rangle = \left\langle \psi_1 \right\rvert \left\langle \psi_1 \right\rvert \left\lvert \psi_2 \right\rangle \left\lvert \psi_2 \right\rangle = \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle ^2~. \end{equation}

　　该式只在 $ \left\langle \psi_1 \middle| \psi_2 \right\rangle =0,1$ 时成立。而这与 $ \left\lvert \psi_1 \right\rangle , \left\lvert \psi_2 \right\rangle $ 的任意性相矛盾。因此并不存在这样的 $U$。

　　值得注意的是，量子不可克隆定理并没有否认经典信息的克隆操作。经典信息可以被编码为 $ \left\lvert 0 \right\rangle \to0, \left\lvert 1 \right\rangle \to1$，而且整个过程中不允许有态的叠加出现。那么此时显然 CNOT 门就能够起到克隆信息的作用。因此这个故事也告诉了我们，如果把量子信息全部限制为某一个测量基矢下的本征态上，那它就会和经典信息没有差别。

2. 量子不可删除定理

　　经典信息不但可以复制，同时还可以被删除。比如生活中我们会在电脑中删除某些文件，也可以把纸质文件放进碎纸机中进行粉碎。

　　不过严格定义到底什么是对信息的删除需要保持谨慎。比如说即使我们粉碎了一份文件，但是这份文件的信息被扩散到了环境中，有心人仍然可以通过收集碎屑来复原这份文件。换句话说，环境所处的状态会和初态的信息有关。在这种情况下我们不认为这是对信息的删除。那什么被认为是信息的删除呢？逻辑电路里的置零操作（在逻辑上）就是一种对信息的删除：不论本来比特处于什么状态，一律将其变成 0。

　　因此对信息删除的定义应该是：不论系统初态如何，输出的末态都是一个相同的态，而且从环境中也无法还原出初态来。

　　那么现在的问题是，对于量子信息来说，我们能否完成对信息的删除呢？很容易可以验证并不可以。证明方法非常类似于对量子不可克隆定理，假如存在一个这样的操作 $U$ 使得 $U( \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert A \right\rangle )= \left\lvert 0 \right\rangle \left\lvert A_\psi \right\rangle $，那么有

\begin{equation} \left\langle \psi \middle| \phi \right\rangle = \left\langle \psi \right\rvert \left\langle A \right\rvert U^\dagger U \left\lvert \phi \right\rangle \left\lvert A \right\rangle = \left\langle 0 \right\rvert \left\langle A_\psi \right\rvert \left\lvert 0 \right\rangle \left\lvert A_\phi \right\rangle =1~. \end{equation}

　　因为 $ \left\lvert \psi \right\rangle , \left\lvert \phi \right\rangle $ 是任意的，这代表着 $ \left\langle A_\psi \middle| A_\phi \right\rangle $。也就是说原本的正交基仍然会被保存为环境中的一组正交基。这代表着只需要对环境再做某种给定的变换，就可以把初始的信息完全复原。

　　那么我们来退而求其次，来问下一个问题，它也可以被看作是量子克隆操作的逆问题：如果给定了某个量子态的两份拷贝 $ \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert \psi \right\rangle $，那么有没有办法删除掉其中的一份？

　　对这个问题的回答依赖于一个更加复杂的证明，不失一般性，我们使用量子比特来进行证明。

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