贡献者: 有机物
树形 顾名思义就是在树上做 。通常是从根节点开始遍历整棵树,在回溯的时候从子节点往上更新父节点的信息。对于特殊的节点,如根节点或叶子节点需要进行特殊的处理。因为树的遍历需要用到递归,所以树形 一般是根据递归实现的。所以树形 较为抽象,可以画图理解。
树形 的框架:
例题 :没有上司的舞会
简化题意:有 节点构成一课树,每个节点有一个值 ,要求整棵树的权值最大值,如果一个节点的父节点加进了答案,那么这个节点就不能加进答案。
这是一个树的模型,因此可以通过树形 来求解。
- 状态表示:
(1)::表示从 的子树中选,且不选 的子节点权值最大值。
(2)::表示从 的子树中选,且选择 的子节点权值最大值。
因为没选 这个节点,那么子节点可选可不选,因此求两者的最大值,如果选择了 这个节点,那么子节点一定不能选。
每次 的时候初始化每个节点的 ,从下往上递归计算,递归结束的时候,根节点就是答案。可见树形 的状态转移方程不止 个,通常需要分类讨论。
时间复杂度:。
C++ 代码:
例题 :树的最长路径
简化题意:树中包含 个结点和 条无向边,每条边都有一个权值。换句话说,要找到一条路径,使得使得路径两端的点的距离最远,这条路径就被称为是树的直径。路径中可以只包含一个点。
对于没有边权的树的来说,它的最长路径就是最长边数的路径,做法是任取一点作为起点,然后找到以这个点最远的一个点 ,在从 这个点找到一个距离它最远的一个点 ,则 到 这条路径就是最长路径,而对于有权树,需要用树形 解决。
- 状态计算:
(1):以 为根的路径有好几条,。
(2):。
图 1:树形图
表示经过 的一条最长路径必然经过以下三个区域的其中一个区域,因此有:
因为要求最大值,所以求一条最长路径和一条次长路径就行了,不一定非得选 条路径,因为有些路径的权值之和可能为负数,但是最优解的路径一定是 条。
最大值和次大值需要初始化为 ,因为如果边权为负数,可以选一个点,答案为 。
状态计算过程中的 表示以 为根的子树中最长的一条路径,不是经过 的一条最长路径。所以状态计算中的两条路径(一条最长边和一条次长边)加起来就是经过 的一条最长路径。
本题的答案不一定为以 为顶点的路径,因为 到其他点的距离可能均为负数,所以答案可以是以其他点顶点的路径,本题采用 递归的方法 来求解,所以是求解方式自下而上的。
时间复杂度:。
C++ 代码:
前面的题目都是比较容易可以看出来是树形 ,让我们看看怎么将一个具体的题目抽象成树形 。
数字转换 题意:如果一个数 的约数之和 (不包括他本身)比他本身小,那么 可以变成 , 也可以变成 。例如, 可以变为 , 可以变为 。
限定所有数字变换在不超过 的正整数范围内进行,求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。
做法:如果一个数 的约数之和 (不包括他本身)比他本身小,那么就从 向 连一条有向边。注意顺序不能颠倒,因为一个数仅有一个约数之和,但一个约数之和可以对应着很多数。例如 和 的约数之和都是 ,若从数向约数之和连边的话,这样某些结点就不止有一个父节点了,这样连就不一定是树了。
这样将树建好之后,问题转化为树的直径问题,求一个最长直径即可。
由于题目中可能会存在多棵树,因此需要将每个点都 dfs 一遍。
遍历的时候可以不用打标记用于判断每个点是否被走过,因为每个数 的约数之和 是唯一的,建图的时候只从 向 连边,所以每个结点的父节点是唯一的,所以每个点只会被遍历一次,不会被重复遍历的。
求每个数的约数之和可以用筛法,加边的时候注意循环从 开始,因为小于 的数在本题中是没有约数之和的。
时间复杂度:
树的遍历的时间复杂度为 ,筛法求约数之和的时间复杂度为 ,所以总的时间复杂度为 。
代码:
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