树形动态规划

贡献者： 有机物

　　 树形 $\texttt{dp}$ 顾名思义就是在树上做 $\texttt{dp}$。通常是从根节点开始遍历整棵树，在回溯的时候从子节点往上更新父节点的信息。对于特殊的节点，如根节点或叶子节点需要进行特殊的处理。因为树的遍历需要用到递归，所以树形 $\texttt{dp}$ 一般是根据递归实现的。所以树形 $\texttt{dp}$ 较为抽象，可以画图理解。

　　 树形 $\texttt{dp}$ 的框架：

void dfs(int u, int father) // father 是 u 节点的父节点
{
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])   // 遍历每条边
    {
        int j = e[i];
        if (j == father) continue;  // 如果是双向边需要特判，不往回重复搜索
        dfs(j); // 递归搜索
        f[j] <-- f[u] // 回溯的时候，用子节点更新父节点
    }
}

　　 例题 $1$：没有上司的舞会

　　 简化题意：有 $n$ 节点构成一课树，每个节点有一个值 $w_i$，要求整棵树的权值最大值，如果一个节点的父节点加进了答案，那么这个节点就不能加进答案。

　　 这是一个树的模型，因此可以通过树形 $\texttt{dp}$ 来求解。

• 状态表示：
  (1)：$f(u, 0)$：表示从 $u$ 的子树中选，且不选 $u$ 的子节点权值最大值。
  (2)：$f(u, 1)$：表示从 $u$ 的子树中选，且选择 $u$ 的子节点权值最大值。

• 状态计算：
  (1)：$f(u, 0) = \sum_{s_i \in \text{son}(u)} \max(f(s_i, 0), f(s_i, 1))$
  (2)：$f(u, 1) = \sum_{s_i \in \text{son}(u)} f(s_i, 0)$

　　 因为没选 $u$ 这个节点，那么子节点可选可不选，因此求两者的最大值，如果选择了 $u$ 这个节点，那么子节点一定不能选。

　　 每次 $\texttt{dfs}$ 的时候初始化每个节点的 $f(u, 1) = w_u$，从下往上递归计算，递归结束的时候，根节点就是答案。可见树形 $\texttt{dp}$ 的状态转移方程不止 $1$ 个，通常需要分类讨论。

　　 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。

　　 C++ 代码：

void dfs(int u)
{
    f[u][1] = w[u];    // 初始化每个节点选择自己的权值
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) // 遍历 u 的每条边
    {
        int j = e[i];
        dfs(j);
        
        f[u][1] += f[j][0];  // 选择 u
        f[u][0] += max(f[j][1], f[j][0]); // 不选 u
    }

    return; // 回溯
}

　　 例题 $2$：树的最长路径

　　 简化题意：树中包含 $n$ 个结点和 $n-1$ 条无向边，每条边都有一个权值。换句话说，要找到一条路径，使得使得路径两端的点的距离最远，这条路径就被称为是树的直径。路径中可以只包含一个点。

　　 对于没有边权的树的来说，它的最长路径就是最长边数的路径，做法是任取一点作为起点，然后找到以这个点最远的一个点 $u$，在从 $u$ 这个点找到一个距离它最远的一个点 $v$，则 $u$ 到 $v$ 这条路径就是最长路径，而对于有权树，需要用树形 $\tt dp$ 解决。

• 状态表示：$f_u$ 表示经过 $u$ 的一条最长路径。

• 状态计算：
  (1)：以 $u$ 为根的路径有好几条，$d_1 = f(x) + w(u \to x)$。
  (2)：$d_2 = f_y + w(u \to y)$。

　　 表示经过 $u$ 的一条最长路径必然经过以下三个区域的其中一个区域，因此有：

　　 因为要求最大值，所以求一条最长路径和一条次长路径就行了，不一定非得选 $2$ 条路径，因为有些路径的权值之和可能为负数，但是最优解的路径一定是 $2$ 条。

　　 最大值和次大值需要初始化为 $0$，因为如果边权为负数，可以选一个点，答案为 $0$。

　　 状态计算过程中的 $f_x$ 表示以 $x$ 为根的子树中最长的一条路径，不是经过 $u$ 的一条最长路径。所以状态计算中的两条路径（一条最长边和一条次长边）加起来就是经过 $u$ 的一条最长路径。

　　 本题的答案不一定为以 $u$ 为顶点的路径，因为 $u$ 到其他点的距离可能均为负数，所以答案可以是以其他点顶点的路径，本题采用 $\tt dfs$ 递归的方法 来求解，所以是求解方式自下而上的。

　　 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$。

　　 C++ 代码：

const int N = 10010, M = N * 2;
int n, h[N], e[M], w[M], ne[M], idx, ans;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int dfs(int u, int father)
{
    int dist = 0; // 表示从当前点往下走的最大长度
    int d1 = 0, d2 = 0;     // d1 最长路径，d2 次长路径

    int d = 0;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == father) continue;
        d = dfs(j, u) + w[i];
        dist = max(dist, d); // f[x]

        if (d >= d1) d2 = d1, d1 = d;
        else if (d > d2) d2 = d;
    }

    ans = max(ans, d1 + d2);
    return dist;
}

int main()
{
    cin >> n;

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }

    dfs(1, -1);

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

　　 前面的题目都是比较容易可以看出来是树形 $\texttt{dp}$，让我们看看怎么将一个具体的题目抽象成树形 $\texttt{dp}$。

　　 数字转换 题意：如果一个数 $x$ 的约数之和 $y$（不包括他本身）比他本身小，那么 $x$ 可以变成 $y$，$y$ 也可以变成 $x$。例如，$4$ 可以变为 $3$，$1$ 可以变为 $7$。

　　 限定所有数字变换在不超过 $n$ 的正整数范围内进行，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。

　　 做法：如果一个数 $x$ 的约数之和 $y$（不包括他本身）比他本身小，那么就从 $y$ 向 $x$ 连一条有向边。注意顺序不能颠倒，因为一个数仅有一个约数之和，但一个约数之和可以对应着很多数。例如 $2$ 和 $3$ 的约数之和都是 $1$，若从数向约数之和连边的话，这样某些结点就不止有一个父节点了，这样连就不一定是树了。

　　 这样将树建好之后，问题转化为树的直径问题，求一个最长直径即可。

　　 由于题目中可能会存在多棵树，因此需要将每个点都 dfs 一遍。

　　 遍历的时候可以不用打标记用于判断每个点是否被走过，因为每个数 $x$ 的约数之和 $y$ 是唯一的，建图的时候只从 $y$ 向 $x$ 连边，所以每个结点的父节点是唯一的，所以每个点只会被遍历一次，不会被重复遍历的。

　　 求每个数的约数之和可以用筛法，加边的时候注意循环从 $2$ 开始，因为小于 $2$ 的数在本题中是没有约数之和的。

　　 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$

　　 树的遍历的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$，筛法求约数之和的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \times \ln n)$，所以总的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$。

　　 $\texttt{C++}$ 代码：

const int N = 5e4 + 10;
int n, res, s[N], h[N], e[N], ne[N], idx;

// 算树的最长直径
int dfs(int u)
{
    int d1 = 0, d2 = 0;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        int d = dfs(j) + 1;
        if (d >= d1) d2 = d1, d1 = d;
        else if (d >= d2) d2 = d;
    }
    res = max(res, d1 + d2);
    return d1;
}

int main()
{
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    // 计算约数之和
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 2; j <= n / i; j ++ )
            s[i * j] += i;
            
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        if (i > s[i]) add(s[i], i);
        
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) dfs(i);
    cout << res << endl;

    return 0;
}