阿德里安-马里·勒让德（综述）

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　　 阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，/ləˈʒɑːndər, -ˈʒɑːnd/\(^\text{[2]}\)；法语发音：[adʁiɛ̃ maʁi ləʒɑ̃dʁ]；1752 年 9 月 18 日－1833 年 1 月 9 日）是一位法国数学家，对数学做出了众多贡献。以他命名的重要概念包括勒让德多项式和勒让德变换。他还因在最小二乘法上的贡献而著称，尽管卡尔·弗里德里希·高斯在他之前已发现这一方法，勒让德却是第一个正式发表该方法的人。\(^\text{[3][4]}\)

1. 生平

　　 阿德里安-马里·勒让德于 1752 年 9 月 18 日出生在巴黎的一个富裕家庭。他在巴黎马扎兰学院接受教育，并于 1770 年在物理与数学方面完成了论文答辩。1775 年至 1780 年间，他在巴黎的军事学院任教，1795 年起又在国立高等师范学院任教。同时，他还隶属于法国经度局。1782 年，柏林科学院因其关于阻力介质中抛体运动的论文授予勒让德奖项，这篇论文也使他引起了拉格朗日的注意。\(^\text{[5]}\)

　　 法国科学院于 1783 年任命勒让德为副成员，1785 年成为正式院士。1789 年，他被选为英国皇家学会会士。\(^\text{[6]}\)

　　 他参与了英法联合测量项目（Anglo-French Survey, 1784–1790），该项目旨在通过三角测量法精确计算巴黎天文台与格林尼治天文台之间的距离。为此，他于 1787 年与多米尼克·卡西尼伯爵和皮埃尔·梅尚一同前往多佛和伦敦。他们三人还拜访了天王星的发现者威廉·赫歇尔。

　　 勒让德在 1793 年法国大革命期间失去了他的私人财产。同年，他与玛格丽特-克洛迪娜·库安结婚，后者帮助他理顺了财务事务。1795 年，勒让德成为重组后的法国科学院（当时改名为 “国家科学与艺术研究院” Institut National des Sciences et des Arts）数学部的六位成员之一。1803 年，拿破仑对该研究院进行了重组，勒让德成为几何学部的成员。

　　 1799 年至 1812 年间，勒让德担任巴黎军事学院毕业炮兵生的数学考官；1799 年至 1815 年，他担任巴黎综合理工学院常任数学考官。\(^\text{[7]}\)1824 年，因他拒绝在国家研究院投票支持政府候选人，勒让德失去了来自军事学院的退休金。1831 年，他被授予荣誉军团勋章军官级别。\(^\text{[5]}\)

　　 勒让德于 1833 年 1 月 9 日因长期严重的疾病在巴黎去世。他的遗孀悉心保存了他的遗物，以纪念他。1856 年她去世后，被安葬在他们曾居住的奥特伊村，与勒让德合葬，并将他们最后的乡间住宅遗赠给该村。勒让德的名字被刻在埃菲尔铁塔上的 72 位名字之一中，以示纪念。

2. 数学工作

　　 阿贝尔在椭圆函数方面的研究是建立在勒让德工作的基础之上的，而高斯在统计学和数论方面的一些成果则完善了勒让德的工作。他发展并最早在高斯之前向同时代人传播了最小二乘法 \(^\text{[8]}\)，这一方法在线性回归、信号处理、统计学和曲线拟合中有广泛应用；该方法于 1806 年以附录形式刊登在他关于彗星轨道的著作中。如今，“最小二乘法” 一词正是从法语 “méthode des moindres carrés” 直译而来。

　　 他的主要著作是《积分演算练习》，分三卷分别于 1811 年、1817 年和 1819 年出版。在第一卷中，他引入了椭圆积分、贝塔函数和伽马函数的基本性质，首次使用了符号 $\Gamma$，并将其归一化定义为 $\Gamma(n+1) = n!$。第二卷中进一步研究了贝塔函数和伽马函数，并将其应用于力学领域，例如地球自转与椭球体的引力问题 \(^\text{[9]}\)。1830 年，他给出了费马大定理在指数 $n = 5$ 情形下的一个证明，这一命题也曾在 1828 年被勒让德·狄利克雷证明过 \(^\text{[9]}\)。

　　 在数论中，勒让德提出了二次互反律的猜想，该定律随后由高斯证明；与此相关的 “勒让德符号” 也因此以他的名字命名。他还在素数分布及将分析方法应用于数论方面做出了开创性的工作。他于 1798 年提出了素数定理的猜想，这一猜想最终在 1896 年由阿达马和德拉瓦莱-普桑严格证明。

　　 勒让德在椭圆函数方面也做出了大量重要工作，包括对椭圆积分的分类，但要到阿贝尔研究雅可比函数反函数时，这一问题才被完全解决。

　　 他还因提出勒让德变换而闻名，这一变换可用于将拉格朗日力学形式转换为哈密顿力学形式。在热力学中，该变换也用于从内能导出焓、以及赫姆霍兹和吉布斯自由能。此外，“勒让德多项式” 亦以他命名，它是勒让德微分方程的解，在物理学和工程学中广泛出现，如静电学等领域。

　　 勒让德最广为人知的成就是其著作《几何原本》，该书于 1794 年出版，约一百年内一直是几何学的主要入门教材。这本书对欧几里得《几何原本》中的大量命题进行了重新编排与简化，使之成为更高效的教学读物。

3. 荣誉

• 1832 年，当选为美国艺术与科学学院外籍荣誉院士。\(^\text{[10]}\)
• 月球上的勒让德陨石坑以他命名。
• 主带小行星 26950 Legendre 也以他命名。
• 勒让德是 72 位被纪念于埃菲尔铁塔首层铭牌上的杰出法国科学家之一。
• 巴黎第十七区有一条街道以他的名字命名。

4. 著作

　　 论文

• 1782 年：《在阻力介质中弹道轨道的研究》，为柏林科学院所设弹道学奖项所撰。

　　 书籍

• 《几何原本》，教科书，1794 年出版 \(^\text{[11]}\)
• 《数论试探》，1797–1798 年（法兰西共和国六年），第二版 1808 年，第三版于 1830 年分两卷出版
• 《测定彗星轨道的新方法》，1805 年
• 《积分演算练习》，三卷本，分别出版于 1811 年、1817 年和 1819 年
• 《椭圆函数论》，三卷本，分别出版于 1825 年、1826 年和 1830 年

　　 发表于《皇家科学院年鉴》的论文

• 1783 年：《论均质旋转椭球体的引力》（——涉及勒让德多项式的研究
• 1784 年：《关于行星形状的研究》，第 370 页
• 1785 年：《不定分析研究》，第 465 页 —— 与数论有关的研究
• 1786 年：《关于变分法中极大值与极小值判别方法的论文》，第 7 页（署名为 Legendre）
• 1786 年：《关于椭圆弧积分的研究论文》，第 616 页（署名为 le Gendre）
• 1786 年：《第二篇关于椭圆弧积分的研究论文》，第 644 页
• 1787 年：《若干偏微分方程的积分方法》——涉及勒让德变换

　　 发表于《法国科学院汇刊·诸学者提交的论文集》的论文

• 1806 年：《将月亮与太阳或某恒星的视距换算为实距的新公式》，第 30–54 页
• 1807 年：《在旋转椭球面上绘制三角形的分析》，第 130–161 页
• 第 10 卷：《对各种定积分形式的研究》，第 416–509 页
• 1819 年：《用最小二乘法从多次观测结果中求最可能值的方法》，第 149–154 页；《关于均质椭球体引力的论文》，第 155–183 页
• 1823 年：《关于不定分析若干问题的研究，特别是关于费马定理的研究》（，第 1–60 页
• 1828 年：《关于函数 Y 和 Z 的确定问题的论文：它们满足方程 4(Xⁿ−1) = (X−1)(Y² ± nZ²)，其中 n 为形如 4i±1 的素数》，第 81–100 页
• 1833 年：《关于证明平行线理论（或三角形内角和定理）的不同方法的思考，并附有一幅图》，第 367–412 页

5. 误用的肖像

　　 两个世纪以来，直到 2005 年这一错误被发现之前，书籍、绘画和文章中一直误将一幅法国无名政治家路易·勒让德（Louis Legendre，1752–1797）的侧面肖像，错认为是数学家勒让德的画像。这一错误的起因在于该素描仅被标注为 “Legendre”，并与拉格朗日等同时代数学家一同出现在某本书中，从而导致了误认。

　　 目前已知的勒让德真迹肖像仅有两幅，其中一幅于 2008 年被重新发现，出自 1820 年出版的《法兰西学院成员的 73 幅水彩讽刺画像集》，该书由法国艺术家朱利安-莱奥波德·布瓦伊绘制，如下图所示。\(^\text{[12][13]}\) 另一幅肖像则收录于《埃菲尔铁塔科学万神殿》一书中。\(^\text{[14]}\)

6. 另见

• 以阿德里安-玛丽·勒让德命名的事物列表
• 关联勒让德多项式
• 高斯–勒让德算法
• 勒让德常数
• 数论中的勒让德方程
• 椭圆积分的勒让德函数关系式
• 勒让德猜想
• 勒让德筛法
• 勒让德符号
• 球面三角中的勒让德定理
• 萨凯里–勒让德定理
• 最小二乘法
• 最小二乘谱分析
• 秒摆

7. 注释

1. Aldrich, John. “微积分符号的最早使用”[Earliest Uses of Symbols of Calculus]，检索于 2017 年 4 月 20 日。
2. “Legendre”，《兰登书屋韦氏完整词典》（Random House Webster's Unabridged Dictionary）。
3. Plackett, R.L.（1972），“最小二乘法的发现”[The discovery of the method of least squares]（PDF），发表于《生物计量学》，第 59 卷第 2 期，239–251 页。
4. Stigler, Stephen M.（1981），“高斯与最小二乘法的发明”[Gauss and the Invention of Least Squares*]，《统计年刊》[The Annals of Statistics]，第 9 卷第 3 期，465–474 页，doi:10.1214/aos/1176345451，ISSN 0090-5364，JSTOR 2240811。
5. O'Connor, John J.；Robertson, Edmund F.，“阿德里安-玛丽·勒让德”[Adrien-Marie Legendre]，麦克图尔数学史档案[MacTutor History of Mathematics Archive]，圣安德鲁斯大学。
6. “图书与档案”[Library and Archive]，英国皇家学会，检索于 2012 年 8 月 6 日。
7. André Weil，《数论：一种历史视角，从汉谟拉比到勒让德》[Number Theory: An approach through history From Hammurapi to Legendre]，施普林格科学与商业媒体，2006 年，第 325 页。
8. Stephen M. Stigler（1981），“高斯与最小二乘法的发明”[Gauss and the Invention of Least Squares]，《统计年刊》[Ann. Stat.]，第 9 卷第 3 期，465–474 页，doi:10.1214/aos/1176345451。
9. Agarwal, Ravi P.；Sen, Syamal K.（2014），《数学与计算科学的创造者》[Creators of Mathematical and Computational Sciences]，施普林格出版社，第 218–219 页，ISBN 9783319108704，OCLC 895161901。
10. 《成员名册，1780–2010 年：L 章》[Book of Members, 1780–2010: Chapter L]（PDF），美国艺术与科学学院，检索于 2014 年 7 月 28 日。
11. “《几何原本》书评”[Review of Elements of Geometry]，《北美评论》[The North American Review]，第 27 卷第 60 期，191–214 页，1828 年，ISSN 0029-2397。
12. Boilly, Julien-Léopold（1820），《法兰西学院成员的 73 幅水彩讽刺画像集》[Album de 73 portraits-charge aquarellés des membres de l’Institut]（水彩肖像，第 29 号，已存档于 2022 年 8 月 27 日，Wayback Machine），法国学院图书馆。
13. Duren, Peter（2009 年 12 月），“面孔的变化：勒让德的误用肖像”[Changing Faces: The Mistaken Portrait of Legendre]（PDF），《美国数学会通告》[*Notices of the AMS]，第 56 卷第 11 期，1440–1443、1455 页。
14. Nuttle, William（2022 年 9 月 17 日），“选择的数学——阿德里安-玛丽·勒让德”[Mathematics of Choice — Adrien-Marie Legendre]，《埃菲尔的巴黎：一位工程师的指南》[Eiffel’s Paris — an Engineer’s Guide]，检索于 2025 年 5 月 18 日。

8. 外部链接

• 维基文库收录了《1911 年大英百科全书》中 “勒让德，阿德里安·玛丽” 条目的原文。
• PlanetMath 上的阿德里安-玛丽·勒让德词条
• 《阿德里安-玛丽·勒让德的真实面容》（The True Face of Adrien-Marie Legendre，勒让德肖像）
• 费马大定理博客中的勒让德传记
• 阿德里安-玛丽·勒让德的参考资料合集
• 法文）《几何原本》（Eléments de géométrie，巴黎：F. Didot，1817）
• 《几何与三角学原理：摘自 A. M. 勒让德著作，并由查尔斯·戴维斯修订，适配美国数学教学课程》（Elements of Geometry and Trigonometry, from the Works of A. M. Legendre. Revised and Adapted to the Course of Mathematical Instruction in the United States, by Charles Davies，纽约：A. S. Barnes & Co.，1858）——上述法文版本的英文译本
• 《关于最小二乘法与均质椭球体引力的论文集》（Mémoires sur la méthode des moindres quarrés, et sur l'attraction des ellipsoïdes homogènes，1830）
• 《数论》（Théorie des nombres，巴黎：Firmin-Didot，1830）
• 《椭圆函数与欧拉积分论》（Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes，巴黎：Huzard-Courcier，1825–1828）
• 《测定彗星轨道的新方法》（Nouvelles Méthodes pour la Détermination des Orbites des Comètes，巴黎：Courcier，1806）
• 《数论试探》（Essai sur la Théorie des Nombres，巴黎：Duprat，1798）
• 《积分演算练习》第三卷（Exercices de Calcul Intégral, V.3，巴黎：Courcier，1816）
• 与勒让德的数学书信往来，收录于 C. G. J. 雅可比的《全集》（Correspondance mathématique avec Legendre in C. G. J. Jacobi’s gesammelte Werke，柏林：1852）