恩斯特·策梅洛（综述）

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图 1

　　恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅洛（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo，发音：/zɜːrˈmɛloʊ/；德语：[tsɛɐ̯ˈmeːlo]；1871 年 7 月 27 日－1953 年 5 月 21 日）是德国的逻辑学家和数学家，他的工作对数学基础具有重要影响。他因在发展策梅洛-弗伦克尔公理化集合论以及证明良序定理方面的贡献而闻名。此外，他在 1929 年关于国际象棋棋手排名的研究，首次描述了一种对偶比较模型，这一方法在多个应用领域中继续产生深远的影响。

1. 生活

　　恩斯特·策梅洛于 1889 年毕业于柏林的路易森斯特第高等学校（现为海因里希·施利曼中学）。随后，他在柏林大学、哈雷大学和弗赖堡大学学习数学、物理和哲学。他于 1894 年在柏林大学完成了博士学位，论文题目为变分法（Untersuchungen zur Variationsrechnung）。策梅洛继续留在柏林大学，成为普朗克的助手，并在其指导下开始研究流体动力学。1897 年，策梅洛前往哥廷根大学，这时的哥廷根大学是世界领先的数学研究中心，他于 1899 年完成了博士后资格论文。

　　 1910 年，策梅洛离开哥廷根，受聘为苏黎世大学数学系的教授，直到 1916 年辞职。他于 1926 年被授予弗赖堡大学的名誉教授职位，但因不满阿道夫·希特勒的政权，於 1935 年辞去该职位。在第二次世界大战结束后，应策梅洛的请求，他被重新恢复了弗赖堡的名誉教授职务。

2. 集合论研究

　　 1900 年，在巴黎举行的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特向数学界提出了著名的希尔伯特问题，这是一个列出 23 个未解的基础性问题的清单，数学家们应在接下来的一个世纪内进行攻克。第一个问题是集合论中的问题，即由康托尔在 1878 年提出的连续统假设，在阐述这个问题时，希尔伯特还提到了需要证明良序定理。

图 2：恩斯特·策梅洛（1953 年，弗赖堡）

　　在希尔伯特的影响下，策梅洛开始研究集合论问题，并于 1902 年发表了关于超限基数相加的第一篇论文。到那时，他已经发现了所谓的拉塞尔悖论。1904 年，他成功地迈出了希尔伯特所建议的关于连续统假设的第一步，证明了良序定理（即每个集合都可以良序）。这一结果使策梅洛声名鹊起，并于 1905 年被任命为哥廷根大学的教授。他基于幂集公理和选择公理的良序定理证明并未被所有数学家接受，主要因为选择公理是非构造性数学的典型范例。1908 年，策梅洛成功地提出了改进版的证明，利用了德德金德对集合 “链” 的概念，这一版本得到了更广泛的接受；主要是因为在同一年，他还提出了集合论的公理化方案。

　　策梅洛于 1905 年开始对集合论进行公理化；尽管他未能证明其公理系统的一致性，但他于 1908 年仍然发表了他的结果。有关这篇论文的概要以及原始公理和编号，请参见策梅洛集合论的相关文章。

　　 1922 年，亚伯拉罕·弗伦克尔和托尔尔夫·斯科勒姆独立地改进了策梅洛的公理系统。由此产生的系统，现在被称为策梅洛-弗伦克尔公理（ZF），是目前最常用的集合论公理化系统。

3. 策梅洛的导航问题

图 3：恩斯特·策梅洛的墓碑，位于弗赖堡（Freiburg im Breisgau）君特塔尔区（Günterstal）的君特塔尔公墓（Friedhof Günterstal）。

　　策梅洛导航问题提出于 1931 年，是一个经典的最优控制问题。该问题涉及一艘船在水域中航行，从起点 $O$ 出发，前往目的地 $D$ 。船具有一定的最大速度，我们希望推导出最佳的控制策略，以便在最短的时间内到达 $D$ 。

　　在不考虑外部因素如水流和风的情况下，最优控制策略是船始终朝向 $D$ 航行。此时，船的航迹就是从 $O$ 到 $D$ 的线段，这显然是最优的。但如果考虑到水流和风的影响，当施加在船上的合力不为零时，忽略水流和风的控制策略将无法得到最优路径。

4. 出版物

策梅洛，恩斯特（2013），埃宾豪斯，海因茨-迪特尔；弗雷泽，克雷格·G.；金守，明宏（编辑），《恩斯特·策梅洛—全集，第 I 卷：集合论，杂文》，海德堡科学院数学与自然科学学会文集，第 21 卷，柏林：Springer-Verlag，doi:10.1007/978-3-540-79384-7，ISBN 978-3-540-79383-0，MR 2640544
策梅洛，恩斯特（2013），埃宾豪斯，海因茨-迪特尔；金守，明宏（编辑），《恩斯特·策梅洛—全集，第 II 卷：变分法，应用数学与物理》，海德堡科学院数学与自然科学学会文集，第 23 卷，柏林：Springer-Verlag，doi:10.1007/978-3-540-70856-8，ISBN 978-3-540-70855-1，MR 3137671
让·范·海耶诺特（1967）。《从弗雷格到哥德尔：数学逻辑源书，1879–1931》，哈佛大学出版社。
1904 年。《证明每个集合都可以良序》，139-141。
1908 年。《良序可能性的一个新证明》，183-198。
1908 年。《集合论基础研究 I》，199-215。
1913 年。《集合论在国际象棋理论中的应用》，收录于拉斯穆森，E.（编辑），2001 年，《游戏与信息读本》，Wiley-Blackwell：79-82。
1930 年。《关于边界数与集合的领域：集合论基础研究的新探讨》，收录于埃德尔，威廉·B.（编辑），1996 年，《从康德到希尔伯特：数学基础的源书》，2 卷，牛津大学出版社：1219-1233。

　　他人作品：

《策梅洛的选择公理及其起源、发展与影响》，格雷戈里·H·摩尔，1982 年，作为《数学与物理科学历史研究》系列第 8 卷，Springer Verlag，纽约。

5. 另见

选择公理
无穷公理
大小限制公理
并集公理
博尔兹曼大脑
选择函数
累积层次
对偶比较
冯·诺依曼宇宙 - 14990 策梅洛，小行星

6. 参考文献

格拉特-吉内斯，艾佛（2000）。《数学根源的探索 1870–1940》，普林斯顿大学出版社。
埃宾豪斯，海因茨-迪特尔（2007）。《恩斯特·策梅洛：走近他的生活与工作》，Springer。ISBN 978-3-642-08050-0。
金守，明宏（2004）。"Zermelo and set theory"，《符号逻辑学通报》，10（4）：487-553。doi:10.2178/bsl/1102083759。MR 2136635。S2CID 231795240。
施瓦尔贝，乌尔里希；沃克，保罗（2001）。"Zermelo and the Early History of Game Theory"（PDF）。《博弈与经济行为》，34（1）：123-137。doi:10.1006/game.2000.0794。原文存档于 2017 年 4 月 1 日（PDF）。
范达伦，迪尔克；埃宾豪斯，海因茨-迪特尔（2000 年 6 月）。"Zermelo and the Skolem Paradox"，《符号逻辑学通报》，6（2）：145-161。CiteSeerX 10.1.1.137.3354。doi:10.2307/421203。hdl:1874/27769。JSTOR 421203。S2CID 8530810。

引用文献

策梅洛，恩斯特（1929）。"Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung"，《数学杂志》（德语），29（1）：436-460。doi:10.1007/BF01180541。S2CID 122877703。
卡普兰斯基，欧文（2020）。《集合论与度量空间》，普罗维登斯：美国数学学会，第 36-37 页。ISBN 978-1-4704-6384-7。

7. 外部链接

在互联网档案馆中关于恩斯特·策梅洛的作品
欧'康纳，约翰·J.；罗伯逊，埃德蒙·F.，"恩斯特·策梅洛"，圣安德鲁斯大学数学历史档案（MacTutor History of Mathematics Archive）
策梅洛导航

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